Bổ đề Yoneda

Đây là điều cho phép các nhà lý thuyết phạm trù đổi một họ vô hạn, khó nắm bắt các biến đổi tự nhiên thành một phần tử cụ thể duy nhất của $F(A)$ — mọi câu hỏi về ánh xạ ra khỏi tiền bó biểu diễn được $h_A$ sụp về câu hỏi về một tập.

Trước tiên ta kiểm $\Phi(\Psi(x))=x$ với mọi $x\in F(A)$. Mở định nghĩa: $\Psi(x)_A(1_A)=F(1_A)(x)$ theo công thức của $\Psi$, đặc biệt hoá với $X=A$, $f=1_A$. Vì $F$ là hàm tử, nó gửi cấu xạ đơn vị $1_A$ tới hàm đơn vị trên $F(A)$, nên $F(1_A)(x)=x$. Vậy $\Phi(\Psi(x))=\Psi(x)_A(1_A)=x$, đúng như cần — hướng này chỉ dùng luật đơn vị của hàm tử.

Giờ ta kiểm hướng khó hơn, $\Psi(\Phi(\eta))=\eta$ với mọi biến đổi tự nhiên $\eta:h_A\Rightarrow F$. Cả hai vế là biến đổi tự nhiên $h_A\Rightarrow F$, nên chỉ cần chỉ ra các thành phần khớp tại mọi đối tượng $X$ và mọi phần tử $f\in h_A(X)=\mathrm{Hom}(X,A)$.

Mở $\Psi(\Phi(\eta))_X(f)$ bằng công thức của $\Psi$ với $x:=\Phi(\eta)=\eta_A(1_A)$: bằng $F(f)(\eta_A(1_A))$.

Giờ dùng tính tự nhiên của $\eta$, ở dạng $\eta_Y(f\circ g)=F(g)(\eta_X(f))$ với $g:=f:X\to A$ và biến kia đặt là $A$: lấy $f:=1_A\in h_A(A)$ trong hình vuông tự nhiên đó cho đúng $\eta_X(1_A\circ f)=F(f)(\eta_A(1_A))$, tức $\eta_X(f)=F(f)(\eta_A(1_A))$, vì $1_A\circ f=f$.

Kết hợp hai dòng cuối: $\Psi(\Phi(\eta))_X(f)=F(f)(\eta_A(1_A))=\eta_X(f)$. Vì $X$ và $f$ tuỳ ý, hai biến đổi tự nhiên khớp mọi nơi, nên $\Psi(\Phi(\eta))=\eta$. Cùng đoạn đầu, $\Phi$ và $\Psi$ là song ánh nghịch đảo lẫn nhau.

Đầy và trung thành chính là đảm bảo phép dịch $A\mapsto h_A$ không mất thông tin nào cả: các cấu xạ khác nhau của $\mathcal{C}$ trở thành các biến đổi tự nhiên khác nhau, và mọi biến đổi tự nhiên giữa hai tiền bó biểu diễn được đều đến từ một cấu xạ thật của $\mathcal{C}$, đây là điều biện minh cho việc nghiên cứu đối tượng thuần qua các ánh xạ vào chúng.

Áp bổ đề Yoneda với hàm tử đích đặt $F:=h_B$. Bổ đề cho song ánh $\mathrm{Nat}(h_A,h_B)\cong h_B(A)$, và mở định nghĩa $h_B(A)=\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$ cho đúng $\mathrm{Nat}(h_A,h_B)\cong\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$.

Còn phải nhận diện cấu xạ nào của $\mathcal{C}$ mà một biến đổi tự nhiên $\eta:h_A\Rightarrow h_B$ tương ứng dưới song ánh này, và kiểm nó là hợp sau. Theo công thức của $\Phi$, $\eta$ tương ứng với phần tử $\Phi(\eta)=\eta_A(1_A)\in\mathrm{Hom}(A,B)$; gọi cấu xạ này là $f$.

Giờ dùng $\Psi(\Phi(\eta))=\eta$ (định lý trên, áp với $F=h_B$) để khôi phục mọi thành phần của $\eta$ từ $f$: với mọi đối tượng $X$ và mọi $g\in h_A(X)=\mathrm{Hom}(X,A)$, $\Psi(f)_X(g)=h_B(g)(f)$. Mở tác động phản biến của $h_B$ trên cấu xạ — hợp trước — cho $h_B(g)(f)=f\circ g$. Vậy $\eta_X(g)=f\circ g$: mọi thành phần của $\eta$ đúng nghĩa là hợp sau với $f$.

Vì $\Phi$ và $\Psi$ là song ánh nghịch đảo lẫn nhau (chứng minh trên) và hợp sau với $f$ chính xác là $\Psi(f)$, phép gán đưa $f$ tới hợp sau với $f$ chính nó là một song ánh $\mathrm{Hom}(A,B)\to\mathrm{Nat}(h_A,h_B)$ — đúng là phát biểu rằng $y$ đầy và trung thành.