Phép nhúng Yoneda là đầy và trung thành

Áp bổ đề Yoneda với hàm tử đích đặt $F:=h_B$. Bổ đề cho song ánh $\mathrm{Nat}(h_A,h_B)\cong h_B(A)$, và mở định nghĩa $h_B(A)=\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$ cho đúng $\mathrm{Nat}(h_A,h_B)\cong\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$.

Còn phải nhận diện cấu xạ nào của $\mathcal{C}$ mà một biến đổi tự nhiên $\eta:h_A\Rightarrow h_B$ tương ứng dưới song ánh này, và kiểm nó là hợp sau. Theo công thức của $\Phi$, $\eta$ tương ứng với phần tử $\Phi(\eta)=\eta_A(1_A)\in\mathrm{Hom}(A,B)$; gọi cấu xạ này là $f$.

Giờ dùng $\Psi(\Phi(\eta))=\eta$ (định lý trên, áp với $F=h_B$) để khôi phục mọi thành phần của $\eta$ từ $f$: với mọi đối tượng $X$ và mọi $g\in h_A(X)=\mathrm{Hom}(X,A)$, $\Psi(f)_X(g)=h_B(g)(f)$. Mở tác động phản biến của $h_B$ trên cấu xạ — hợp trước — cho $h_B(g)(f)=f\circ g$. Vậy $\eta_X(g)=f\circ g$: mọi thành phần của $\eta$ đúng nghĩa là hợp sau với $f$.

Vì $\Phi$ và $\Psi$ là song ánh nghịch đảo lẫn nhau (chứng minh trên) và hợp sau với $f$ chính xác là $\Psi(f)$, phép gán đưa $f$ tới hợp sau với $f$ chính nó là một song ánh $\mathrm{Hom}(A,B)\to\mathrm{Nat}(h_A,h_B)$ — đúng là phát biểu rằng $y$ đầy và trung thành.