Định lý Cayley

Bước 1 — Gắn một hoán vị cho mỗi phần tử của nhóm. Với mỗi $g \in G$, định nghĩa ánh xạ tịnh tiến trái $\lambda_g : G \to G,\; x \mapsto g * x$. Vì $\lambda_{g^{-1}}$ là ánh xạ ngược hai phía của nó, $\lambda_g$ là một song ánh trên $G$, nên $\lambda_g \in \mathrm{Sym}(G)$.

**Bước 2 — Kiểm tra $\Lambda : G \to \mathrm{Sym}(G),\; g \mapsto \lambda_g$ là đồng cấu đơn ánh.** Nhờ tính kết hợp, $\lambda_{g * h}(x) = (g * h) * x = g * (h * x) = (\lambda_g \circ \lambda_h)(x)$ với mọi $x \in G$, suy ra $\Lambda(g * h) = \Lambda(g) \circ \Lambda(h)$. Nếu $\Lambda(g) = \mathrm{id}$, tính giá trị tại phần tử đơn vị cho ta $\lambda_g(e) = g * e = g = e$, chứng tỏ $\ker(\Lambda) = \{e\}$. Vậy $G$ đẳng cấu với ảnh $\Lambda(G) \le \mathrm{Sym}(G)$.