Đại số

Lý thuyết nhóm

Cấu trúc đại số nắm bắt đối xứng: một phép toán, vài tiên đề, và một ý tưởng xuyên suốt từ các phép quay của khối lập phương tới việc phương trình bậc năm không giải được bằng căn thức.

Trực giácĐối xứng là gì?

Hãy nhìn một tờ giấy hình vuông. Bạn có thể xoay nó 90°, 180°, 270°, hoặc để nguyên, hình vuông vẫn trông y hệt. Bạn cũng có thể lật nó theo bốn cách khác nhau. Mỗi thao tác trong tám thao tác đó là một phép đối xứng của hình vuông: một hành động không làm thay đổi hình dạng. Thực hiện phép đối xứng này rồi tới phép đối xứng khác lại cho ra một phép đối xứng khác — xoay 90° rồi lật, kết quả vẫn là một trong tám thao tác.

Các phép quay đưa khối lập phương về chính nó. Kể cả phép không làm gì, có tất cả 24 phép quay như vậy — đúng bằng số cách hoán vị bốn đường chéo lớn của khối lập phương.

Mẫu hình này — một tập hợp các thao tác, một cách kết hợp chúng (làm cái này rồi tới cái kia), một thao tác không làm gì, và mọi thao tác đều có cách "hoàn tác" — xuất hiện khắp nơi trong toán học: phép đối xứng của hình, cách xáo một bộ bài, các số hữu tỉ khác 0 với phép nhân, các ma trận khả nghịch với phép nhân ma trận. Lý thuyết nhóm nghiên cứu chính mẫu hình này, sau khi đã bỏ đi những gì làm mỗi ví dụ khác nhau.

Phổ thôngSố học đồng hồ: một nhóm ẩn ngay trước mắt

Một chiếc đồng hồ có 12 giờ: cộng 5 giờ vào 10 giờ được 3 giờ, vì $10 + 5 = 15$ và $15$ "vòng lại" thành $3$ theo modulo 12. Tập $\{0, 1, \dots, 11\}$ với phép cộng vòng lại này là một nhóm: cộng 0 thì không đổi gì, và mỗi giờ đều có một giờ để cộng vào cho ra 0 (5 và 7 triệt tiêu lẫn nhau). Đây chính là nhóm đồng dư $(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}, +)$ mà bạn có thể đã biết.

Đại họcĐịnh nghĩa hình thức

Định nghĩa: Nhóm

Một nhóm là một tập $G$ cùng với một phép toán $*: G \times G \to G$ thỏa mãn: (kết hợp) $(a*b)*c = a*(b*c)$ với mọi $a,b,c \in G$ ; (phần tử đơn vị) tồn tại $e \in G$ sao cho $e*a = a*e = a$ với mọi $a$ ; (phần tử nghịch đảo) với mọi $a \in G$ tồn tại $a^{-1} \in G$ sao cho $a*a^{-1} = a^{-1}*a = e$ . Nếu thêm $a*b = b*a$ với mọi $a, b$ , nhóm được gọi là giao hoán (abelian).

(a * b) * c = a * (b * c), \qquad e * a = a * e = a, \qquad a * a^{-1} = a^{-1} * a = e

Ví dụ: $(\mathbb{Z}, +)$ và $(\mathbb{Q}, +)$ là các nhóm giao hoán với phần tử đơn vị 0. $(\mathbb{Z}, \times)$ không phải là một nhóm — hầu hết các số nguyên không có nghịch đảo nhân trong $\mathbb{Z}$ — nhưng $(\mathbb{R} \setminus \{0\}, \times)$ là một nhóm. Các ma trận khả nghịch cỡ $n \times n$ , ký hiệu $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ , lập thành một nhóm với phép nhân ma trận, và nhóm này không giao hoán khi $n \ge 2$ : thứ tự thực hiện hai phép đối xứng thường có ảnh hưởng.

Đại họcNhóm con, phần tử sinh và đồ thị Cayley

Định nghĩa: Nhóm con

Một tập con $H \subseteq G$ là nhóm con nếu nó chứa $e$ và đóng kín với phép toán $*$ cũng như với việc lấy nghịch đảo — khi đó $H$ tự nó là một nhóm với phép toán kế thừa từ $G$ . Một tập sinh là tập con $S \subseteq G$ sao cho mọi phần tử của $G$ đều là tích của các phần tử trong $S$ và nghịch đảo của chúng; một nhóm sinh bởi một phần tử duy nhất được gọi là nhóm xyclic.

Đồ thị Cayley biến một tập sinh thành một hình vẽ: mỗi phần tử của $G$ là một đỉnh, và nối $g$ với $g*s$ với mỗi phần tử sinh $s$ . Tám đỉnh dưới đây có thể đọc là nhóm $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$ — các bộ ba số 0, 1 cộng theo từng tọa độ modulo 2 — sinh bởi ba thao tác "lật một tọa độ". Nhóm nào cũng có một hình như vậy; nó biến phép nhân trừu tượng thành một đồ thị mà ta có thể "đi dạo" trên đó.

Đồ thị lập phương

Q_3

: tám đỉnh, mỗi đỉnh nối với ba đỉnh láng giềng khác nó đúng một tọa độ. Đọc như một đồ thị Cayley, đây là nhóm

(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3

với các phần tử sinh

(1,0,0)

(0,1,0)

(0,0,1)

Đại họcKích thước của một nhóm con

Định lý: Định lý Lagrange

Nếu $G$ là một nhóm hữu hạn và $H \le G$ là một nhóm con, thì $|H|$ chia hết $|G|$ .

Vì sao đúng?

Các lớp ghép trái $gH = \{gh : h \in H\}$ chia $G$ thành các khối đều có đúng $|H|$ phần tử (ánh xạ $h \mapsto gh$ là một song ánh $H \to gH$ ), nên $|G|$ bằng $|H|$ nhân với số lớp ghép.

Chứng minh

**Bước 1 — Phân hoạch $G$ thành các lớp ghép trái qua quan hệ tương đương.** Định nghĩa $a \sim b \iff a^{-1}b \in H$ trên $G$ . Vì $H$ là nhóm con nên nó chứa phần tử đơn vị ( $a^{-1}a = e \in H$ , tính phản xạ), đóng kín với nghịch đảo ( $(a^{-1}b)^{-1} = b^{-1}a \in H$ , tính đối xứng) và đóng kín với phép nhân ( $(a^{-1}b)(b^{-1}c) = a^{-1}c \in H$ , tính bắc cầu). Lớp tương đương của $a$ chính là lớp ghép trái $aH = \{ah : h \in H\}$ , do đó các lớp ghép trái phân biệt phân hoạch $G$ thành $[G : H]$ tập con rời nhau.

**Bước 2 — Chứng minh mọi lớp ghép đều có lực lượng $|H|$ và tính tổng.** Với mỗi $a \in G$ , ánh xạ nhân trái $\phi_a : H \to aH,\; h \mapsto ah$ là toàn ánh theo định nghĩa và đơn ánh nhờ luật giản ước trái ( $ah_1 = ah_2 \implies h_1 = h_2$ sau khi nhân trái với $a^{-1}$ ). Suy ra $|aH| = |H|$ với mọi lớp ghép. Cộng trên $[G : H]$ lớp ghép rời nhau ta được $|G| = [G : H]\,|H|$ , chứng tỏ $|H|$ là ước của $|G|$ .

gH = \{g * h : h \in H\}, \qquad |G| = [G : H]\,|H|

Định lý Lagrange giải thích ngay vì sao nhóm quay của khối lập phương (cấp 24, đã thấy ở trên) chỉ có thể có nhóm con cấp 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 — các ước của 24 — chứ không bao giờ có nhóm con cấp 5. Đây là một ràng buộc mạnh: chỉ cần biết $|G|$ đã giới hạn những nhóm con nào có thể tồn tại.

Nâng caoNhóm đối xứng và vì sao một số phương trình không có công thức nghiệm

Tập hợp mọi hoán vị của $n$ vật, kết hợp theo kiểu "làm cái này rồi tới cái kia", là nhóm đối xứng $S_n$ , có cấp $n!$ . Nhóm quay của khối lập phương (đẳng cấu với) $S_4$ : hoán vị bốn đường chéo lớn. Mọi nhóm hữu hạn đều là nhóm con của một $S_n$ nào đó (định lý Cayley), nên các nhóm đối xứng đã chứa sẵn, dưới một hình thức khác, mọi phép đối xứng hữu hạn có thể có.

Định lý: Định lý Cayley

Mọi nhóm $G$ đều đẳng cấu với một nhóm con của nhóm đối xứng $\mathrm{Sym}(G)$ gồm các hoán vị trên $G$ . Đặc biệt, mọi nhóm hữu hạn cấp $n = |G|$ đều nhúng được như một nhóm con của $S_n$ .

Vì sao đúng?

Các tiên đề nhóm trừu tượng thoạt nhìn có vẻ tổng quát hơn các phép hoán vị cụ thể, nhưng định lý Cayley chứng minh rằng không phải vậy: phép nhân trái trên $G$ bởi một phần tử $g$ hoán vị trung thực các phần tử của $G$ , biến mọi nhóm trừu tượng thành một nhóm hoán vị cụ thể.

Chứng minh

Bước 1 — Gắn một hoán vị cho mỗi phần tử của nhóm. Với mỗi $g \in G$ , định nghĩa ánh xạ tịnh tiến trái $\lambda_g : G \to G,\; x \mapsto g * x$ . Vì $\lambda_{g^{-1}}$ là ánh xạ ngược hai phía của nó, $\lambda_g$ là một song ánh trên $G$ , nên $\lambda_g \in \mathrm{Sym}(G)$ .

**Bước 2 — Kiểm tra $\Lambda : G \to \mathrm{Sym}(G),\; g \mapsto \lambda_g$ là đồng cấu đơn ánh.** Nhờ tính kết hợp, $\lambda_{g * h}(x) = (g * h) * x = g * (h * x) = (\lambda_g \circ \lambda_h)(x)$ với mọi $x \in G$ , suy ra $\Lambda(g * h) = \Lambda(g) \circ \Lambda(h)$ . Nếu $\Lambda(g) = \mathrm{id}$ , tính giá trị tại phần tử đơn vị cho ta $\lambda_g(e) = g * e = g = e$ , chứng tỏ $\ker(\Lambda) = \{e\}$ . Vậy $G$ đẳng cấu với ảnh $\Lambda(G) \le \mathrm{Sym}(G)$ .

Phương trình bậc hai, bậc ba và bậc bốn đều có công thức nghiệm dùng $+, -, \times, \div$ và căn thức. Việc có tồn tại một công thức tương tự cho phương trình bậc năm tổng quát ( $n = 5$ ) hay không hóa ra là một câu hỏi về nhóm đối xứng $S_5$ : lý thuyết Galois gắn với mỗi đa thức một nhóm đối xứng của các nghiệm của nó, và công thức bằng căn thức tồn tại đúng khi nhóm đó có thể xây dựng từ các mảnh giao hoán (nhóm đó là giải được). $S_5$ không giải được — nhóm con $A_5$ của nó không có nhóm con chuẩn tắc nào ngoài chính nó và nhóm tầm thường — đó là lý do không thể có công thức như vậy. Đây chính là định lý Abel–Ruffini, và sự tương ứng đầy đủ giữa trường và nhóm là chủ đề của `ly-thuyet-galois`.

Đại họcỨng dụng thực tiễn và Ví dụ minh họa

Lý thuyết nhóm là nền tảng của mật mã khóa công khai hiện đại (trao đổi khóa Diffie–Hellman và mật mã đường cong elliptic dựa trên các nhóm xyclic cấp nguyên tố $p$ nơi bài toán logarit rời rạc rất khó), mã sửa sai, quang phổ học và tinh thể học (các nhóm điểm như $D_4$ và $S_4$ phân loại dao động phân tử và mạng tinh thể), cũng như vật lý hạt cơ bản.

Ví dụ: Mật mã học: Phần tử sinh và nghịch đảo trong $(\mathbb{Z}/11\mathbb{Z})^\times$

Trong nhóm nhân $(\mathbb{Z}/11\mathbb{Z})^\times$ dùng trong trao đổi khóa Diffie–Hellman, hãy áp dụng định lý Lagrange để chứng minh $g = 2$ là phần tử sinh xyclic của nhóm và tìm phần tử nghịch đảo nhân của $3$ .

Lời giải

Bước 1 — Thu hẹp các cấp khả dĩ bằng định lý Lagrange. Nhóm $(\mathbb{Z}/11\mathbb{Z})^\times$ gồm $\{1, 2, \dots, 10\}$ với phép nhân modulo $11$ , nên $|G| = 10$ . Theo định lý Lagrange, cấp của mọi phần tử phải là ước của $10$ , tức chỉ có thể là $1, 2, 5, 10$ .

**Bước 2 — Kiểm tra các ước thực sự cho $g = 2$ .** Tính lũy thừa theo modulo $11$ : $2^1 \equiv 2$ , $2^2 \equiv 4$ và $2^5 = 32 \equiv 10 \equiv -1 \not\equiv 1 \pmod{11}$ . Vì không ước thực sự nào của $10$ cho kết quả $1$ và $2^{10} \equiv (-1)^2 = 1 \pmod{11}$ , cấp của $g = 2$ bằng $10$ , nên $g = 2$ sinh toàn bộ $(\mathbb{Z}/11\mathbb{Z})^\times$ .

**Bước 3 — Tìm nghịch đảo của $3$ .** Kiểm tra bội của $3$ theo modulo $11$ , ta thấy $3 \times 4 = 12 \equiv 1 \pmod{11}$ , suy ra $3^{-1} \equiv 4 \pmod{11}$ .

Ví dụ: Đối xứng phân tử và hình học: Nhóm nhị diện $D_4$ của hình vuông

Cho nhóm nhị diện cấp $8$ là $D_4 = \langle r, s \mid r^4 = e,\; s^2 = e,\; srs = r^{-1} \rangle$ sinh bởi phép quay $90^\circ$ ký hiệu $r$ và phép đối xứng trục $s$ . Hãy kiểm chứng $D_4$ không giao hoán bằng cách rút gọn $s r^2 s$ và $r s r$ , đồng thời liệt kê các lớp ghép trái của nhóm con quay $H = \langle r \rangle = \{e, r, r^2, r^3\}$ .

Lời giải

**Bước 1 — Dùng hệ thức giao hoán $srs = r^{-1} = r^3$ .** Nhân trái với $s$ (dùng $s^2 = e$ ) cho $r s = s r^3$ , nên $r s \neq s r = r^3 s$ , xác nhận $D_4$ không giao hoán. Từ đó, $r s r = (s r^3) r = s r^4 = s$ , và $s r^2 s = (srs)(srs) = r^{-1} r^{-1} = r^{-2} = r^2$ .

**Bước 2 — Phân hoạch $D_4$ thành các lớp ghép trái của $H = \langle r \rangle = \{e, r, r^2, r^3\}$ .** Vì $|D_4| = 8$ và $|H| = 4$ , định lý Lagrange cho chỉ số $[D_4 : H] = 8 / 4 = 2$ . Hai lớp ghép trái rời nhau là lớp các phép quay $H = \{e, r, r^2, r^3\}$ và lớp các phép lật $sH = \{s, sr, sr^2, sr^3\}$ .

Ghi chú lịch sử

Lagrange (1770) nghiên cứu các hoán vị nghiệm của một đa thức, dù chưa có khái niệm nhóm hiện đại. Abel (1824) chứng minh không tồn tại công thức bằng căn thức cho phương trình bậc năm tổng quát. Galois (1832), trong một lá thư viết đêm trước khi qua đời vì đấu súng, chỉ ra chính xác phương trình nào giải được bằng căn thức, bằng cách gắn một nhóm cho mỗi đa thức — đó là sự ra đời của lý thuyết nhóm như một môn học độc lập. Một thế kỷ sau, Emmy Noether (thập niên 1920) định hình lại đại số xoay quanh các cấu trúc trừu tượng — nhóm, vành, ideal — lập luận thuần túy từ tiên đề thay vì từ một ví dụ cụ thể, chính là phong cách đại số trừu tượng dùng xuyên suốt trang này.

Joseph-Louis Lagrange Niels Henrik Abel Évariste Galois Emmy Noether

Tập nào dưới đây không phải là một nhóm với phép toán đã cho?

Có bao nhiêu phép quay (kể cả phép không làm gì) đưa khối lập phương về chính nó?

Theo định lý Lagrange, số nào dưới đây không thể là cấp của một nhóm con của một nhóm cấp 24?

Vì sao phương trình bậc năm tổng quát ( $n = 5$ ) không có công thức nghiệm dùng $+, -, \times, \div$ và căn thức?

Tài liệu tham khảo

David S. Dummit, Richard M. Foote (2004). Abstract Algebra
Michael Artin (2011). Algebra