Định lýĐã chứng minh

Định lý phần dư Trung Hoa

Phát biểu

Nếu $n_1,\dots,n_k$ là các số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau, thì với mọi số nguyên $a_1,\dots,a_k$ , hệ đồng dư $x\equiv a_i \pmod{n_i}$ ( $i=1,\dots,k$ ) có nghiệm $x$ , duy nhất theo mô đun $N=n_1n_2\cdots n_k$ .

Vì sao đúng?

Các mô đun đôi một nguyên tố cùng nhau mang thông tin độc lập, nên chỉ định số dư cho từng mô đun sẽ xác định duy nhất một thặng dư theo mô đun tích của chúng — giống như đọc ra một con số duy nhất từ nhiều chiếc đồng hồ chạy với chu kỳ nguyên tố cùng nhau.

Phác thảo chứng minh

Với mỗi $i$ , đặt $N_i=N/n_i$ . Vì $\gcd(N_i,n_i)=1$ , đẳng thức Bézout cho $y_i$ sao cho $N_iy_i\equiv1\pmod{n_i}$ . Khi đó $x=\sum_i a_iN_iy_i$ thỏa $x\equiv a_i\pmod{n_i}$ với mọi $i$ , vì $N_j\equiv0\pmod{n_i}$ khi $j\ne i$ . Tính duy nhất theo mô đun $N$ suy ra vì hai nghiệm phải sai khác nhau một bội của mọi $n_i$ , tức một bội của $N$ .

Người chứng minh

chứng minh năm 1801Carl Friedrich Gauss

Chủ đề chứa định lý này

Định lý phần dư Trung Hoa

Định lý liên quan

Đẳng thức Bézout

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Carl Friedrich Gauss (trans. Arthur A. Clarke) (1986). Disquisitiones Arithmeticae · DOI:10.1016/B978-044450871-3/50117-0
Jean-Claude Martzloff (1997). A History of Chinese Mathematics · DOI:10.1007/978-3-540-33783-6