Định lýĐã chứng minh

Đẳng thức Bézout

Phát biểu

Với các số nguyên $a,b$ không đồng thời bằng 0, tồn tại các số nguyên $x,y$ sao cho $ax+by=\gcd(a,b)$ . Hơn nữa, $\gcd(a,b)$ là số nguyên dương nhỏ nhất biểu diễn được dưới dạng này.

Vì sao đúng?

Chạy ngược thuật toán Euclid biến dãy các phép chia thành một tổ hợp tường minh của $a$ và $b$ bằng đúng ước chung lớn nhất của chúng — nên ƯCLN luôn 'đạt tới được' bằng cách cộng trừ các bội nguyên của $a$ và $b$ .

Phác thảo chứng minh

Đặt $S=\{ax+by : x,y\in\mathbb{Z}\}\cap\mathbb{Z}_{>0}$ ; tập này khác rỗng (chứa $|a|$ hoặc $|b|$ ), nên theo nguyên lý sắp thứ tự tốt, nó có phần tử nhỏ nhất $d=ax_0+by_0$ . Chia $a$ cho $d$ có dư và dùng tính nhỏ nhất của $d$ cho thấy số dư phải bằng $0$ , nên $d\mid a$ ; tương tự $d\mid b$ . Mọi ước chung của $a,b$ đều chia hết $ax_0+by_0=d$ , nên $d=\gcd(a,b)$ .

Chủ đề chứa định lý này

ƯCLN, BCNN và thuật toán Euclid

Định lý liên quan

Định lý cơ bản của số học Định lý phần dư Trung Hoa

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

G. H. Hardy, E. M. Wright (2008). An Introduction to the Theory of Numbers · DOI:10.1093/oso/9780199219858.001.0001
Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach (2011). A History of Mathematics