Chọn kéo theo Bổ đề Zorn

Ta chứng minh Chọn $\implies$ Bổ đề Zorn (các tương đương còn lại là chuẩn nhưng dài hơn; chiều này là chiều được dùng liên tục trong đại số). Gọi $(P, \le)$ là một tập sắp thứ tự bộ phận khác rỗng mà mọi dây chuyền đều có cận trên trong $P$, và giả sử phản chứng $P$ không có phần tử tối đại.

Vì $P$ không có phần tử tối đại, mọi $x \in P$ đều có một cận trên chặt trong $P$ (một phần tử $y$ với $x < y$): nếu không thì $x$ đó tự nó đã tối đại. Đặc biệt, mọi dây chuyền $C \subseteq P$ đều có cận trên (theo giả thiết) mà bản thân cận trên đó lại có cận trên chặt, nên mọi dây chuyền đều có cận trên chặt trong $P$.

Theo Tiên đề chọn, cố định một hàm chọn chọn ra, với mỗi dây chuyền $C \subseteq P$, một cận trên chặt $g(C)$ của $C$. Dùng $g$, xây một dãy siêu hạn $(a_\alpha)$ đánh số bởi mọi thứ tự $\alpha$: đặt $a_0 = g(\emptyset)$, và với mỗi thứ tự $\alpha$, khi $a_\beta$ đã được định nghĩa với mọi $\beta < \alpha$, tập $\{a_\beta : \beta<\alpha\}$ là một dây chuyền (theo cách xây, mỗi số hạng mới là cận trên chặt của mọi số hạng trước), nên đặt $a_\alpha = g(\{a_\beta : \beta<\alpha\})$, một cận trên chặt của mọi số hạng trước.

Điều này tạo ra một ánh xạ tăng chặt từ các thứ tự vào $P$: $\alpha < \beta \implies a_\alpha < a_\beta$. Nhưng các thứ tự không lập thành một tập (không có tập mọi thứ tự), trong khi $P$ là một tập bình thường; một ánh xạ tăng chặt từ các thứ tự vào $P$ sẽ khiến các thứ tự có lực lượng không lớn hơn $P$, mâu thuẫn với sự kiện (hệ quả của Thay thế) rằng không tập nào có thể ánh xạ đơn ánh lên một sưu tập lớn như mọi thứ tự. Mâu thuẫn này cho thấy giả thiết "$P$ không có phần tử tối đại" là sai, nên $P$ có phần tử tối đại, chứng minh Bổ đề Zorn từ Chọn.