Hệ tiên đề ZFC

Tự thuộc chính là kiểu tự quy chiếu tạo ra nghịch lý Russell; Chính quy loại trừ nó không phải bằng cách suy ra mâu thuẫn mỗi lần, mà một lần cho tất cả, như một quy tắc cấu trúc về cách tập hợp được dựng. Điều này cho phép các nhà toán học định nghĩa an toàn bằng quy nạp/đệ quy trên quan hệ thuộc, và đó là lý do các tập hợp xuất hiện xuyên suốt toán học thông thường không bao giờ chứa chính nó.

Giả sử phản chứng rằng có tập $x$ thỏa $x \in x$.

Theo Tiên đề cặp, tập $\{x\}$ tồn tại (ghép $x$ với chính nó). Tập này khác rỗng, vì nó chứa $x$.

Áp dụng Tiên đề chính quy cho tập khác rỗng $\{x\}$: phải tồn tại $y \in \{x\}$ với $\{x\} \cap y = \emptyset$. Nhưng phần tử duy nhất của $\{x\}$ là chính $x$, nên $y = x$, và kết luận trở thành $\{x\} \cap x = \emptyset$.

Bây giờ nhớ lại giả thiết phản chứng $x \in x$. Vì $x \in \{x\}$ (theo định nghĩa của cặp) và $x \in x$ (giả thiết của ta), phần tử $x$ thuộc cả $\{x\}$ lẫn $x$, nên $x \in \{x\} \cap x$. Điều này nghĩa là $\{x\} \cap x$ khác rỗng, trực tiếp mâu thuẫn với $\{x\} \cap x = \emptyset$ thu được ở trên.

Mâu thuẫn này cho thấy giả thiết $x \in x$ là không thể với mọi tập $x$; do đó $x \notin x$ với mọi tập $x$, như đã khẳng định.

Bổ đề Zorn, Chọn và Sắp tốt trông hoàn toàn khác nhau — một nói về thứ tự và phần tử tối đại, một nói về chọn đồng thời từ nhiều tập, một nói về thứ tự toàn phần không có dây chuyền giảm vô hạn — nhưng mỗi cái mã hóa đúng cùng một sức mạnh nền tảng: thực hiện vô hạn lựa chọn không ràng buộc cùng lúc. Đó là lý do các nhà đại số dùng Bổ đề Zorn để chứng minh các phát biểu tồn tại (một ideal tối đại, một cơ sở, một bao đóng đại số) mà chỉ riêng Chọn sẽ phát biểu kém tiện lợi hơn.

Ta chứng minh Chọn $\implies$ Bổ đề Zorn (các tương đương còn lại là chuẩn nhưng dài hơn; chiều này là chiều được dùng liên tục trong đại số). Gọi $(P, \le)$ là một tập sắp thứ tự bộ phận khác rỗng mà mọi dây chuyền đều có cận trên trong $P$, và giả sử phản chứng $P$ không có phần tử tối đại.

Vì $P$ không có phần tử tối đại, mọi $x \in P$ đều có một cận trên chặt trong $P$ (một phần tử $y$ với $x < y$): nếu không thì $x$ đó tự nó đã tối đại. Đặc biệt, mọi dây chuyền $C \subseteq P$ đều có cận trên (theo giả thiết) mà bản thân cận trên đó lại có cận trên chặt, nên mọi dây chuyền đều có cận trên chặt trong $P$.

Theo Tiên đề chọn, cố định một hàm chọn chọn ra, với mỗi dây chuyền $C \subseteq P$, một cận trên chặt $g(C)$ của $C$. Dùng $g$, xây một dãy siêu hạn $(a_\alpha)$ đánh số bởi mọi thứ tự $\alpha$: đặt $a_0 = g(\emptyset)$, và với mỗi thứ tự $\alpha$, khi $a_\beta$ đã được định nghĩa với mọi $\beta < \alpha$, tập $\{a_\beta : \beta<\alpha\}$ là một dây chuyền (theo cách xây, mỗi số hạng mới là cận trên chặt của mọi số hạng trước), nên đặt $a_\alpha = g(\{a_\beta : \beta<\alpha\})$, một cận trên chặt của mọi số hạng trước.

Điều này tạo ra một ánh xạ tăng chặt từ các thứ tự vào $P$: $\alpha < \beta \implies a_\alpha < a_\beta$. Nhưng các thứ tự không lập thành một tập (không có tập mọi thứ tự), trong khi $P$ là một tập bình thường; một ánh xạ tăng chặt từ các thứ tự vào $P$ sẽ khiến các thứ tự có lực lượng không lớn hơn $P$, mâu thuẫn với sự kiện (hệ quả của Thay thế) rằng không tập nào có thể ánh xạ đơn ánh lên một sưu tập lớn như mọi thứ tự. Mâu thuẫn này cho thấy giả thiết "$P$ không có phần tử tối đại" là sai, nên $P$ có phần tử tối đại, chứng minh Bổ đề Zorn từ Chọn.