Bổ đề Itô

Khai triển Taylor. Với $F$ trơn, khai triển Taylor bậc hai thông thường theo cả hai biến trên một bước nhỏ $\Delta t$ với $\Delta W=W_{t+\Delta t}-W_t$ có dạng $\Delta F\approx \partial_tF\,\Delta t+\partial_xF\,\Delta W+\tfrac12\partial_x^2F\,(\Delta W)^2+\tfrac12\partial_t^2F\,(\Delta t)^2+\partial_t\partial_xF\,\Delta t\,\Delta W+\cdots$ — đây thuần túy là giải tích, đúng cho bất kỳ đường trơn nào.

Sắp thứ tự các số hạng theo kích thước. Vì $\Delta W$ có bậc $\sqrt{\Delta t}$ (không phải $\Delta t$, như đã chỉ ra trong định lý trước), các số hạng có tỉ lệ: $\partial_tF\,\Delta t$ bậc $\Delta t$; $\partial_xF\,\Delta W$ bậc $\sqrt{\Delta t}$ (số hạng ngẫu nhiên chủ đạo, bậc dẫn đầu); $(\Delta t)^2$ và $\Delta t\,\Delta W$ bậc $(\Delta t)^2$ và $(\Delta t)^{3/2}$ tương ứng, không đáng kể so với $\Delta t$; nhưng $(\Delta W)^2$ bậc $\Delta t$ — cùng bậc với $\partial_tF\,\Delta t$, hoàn toàn không đáng bỏ qua, khác với giải tích thông thường nơi $(\Delta x)^2$ luôn không đáng kể so với $\Delta x$.

Thay $(\Delta W)^2$ bằng kỳ vọng của nó. Theo định lý biến phân bậc hai, cộng trên nhiều bước nhỏ $(\Delta W)^2$ hành xử như $\Delta t$ (kỳ vọng của nó, với các dao động quanh kỳ vọng đó triệt tiêu khi các bước co lại và được cộng lại), đó là sự biện minh không chính thức cho quy tắc thay thế trực giác $(dW_t)^2=dt$ trong giới hạn các bước vô cùng nhỏ.

Lấy giới hạn. Bỏ các số hạng bậc cao không đáng kể và thay $(\Delta W)^2\to dt$ trong giới hạn $\Delta t\to0$ biến khai triển Taylor thành dạng vi phân $dF=\Big(\partial_tF+\tfrac12\partial_x^2F\Big)dt+\partial_xF\,dW_t$ chính xác như đã khẳng định — số hạng $\tfrac12\partial_x^2F\,dt$ chính xác là đóng góp mà giải tích thông thường bỏ qua nhưng giải tích ngẫu nhiên phải giữ lại.