Chuyển động Brown, giải tích ngẫu nhiên

Đây là định lý khiến giải tích ngẫu nhiên trở nên cần thiết ngay từ đầu: nó loại trừ việc coi $dW_t$ như một vi phân thông thường theo cách $dt$ được xử lý trong giải tích cổ điển, và nó biện minh cho quy tắc trực giác $(dW_t)^2=dt$ dẫn dắt bổ đề Itô dưới đây.

Biến phân bậc hai. Phân hoạch $[0,t]$ thành $n$ mảnh bằng nhau độ dài $t/n$ và đặt $Q_n=\sum_{i=1}^n(W_{it/n}-W_{(i-1)t/n})^2$. Mỗi số hạng $(W_{it/n}-W_{(i-1)t/n})^2$ có kỳ vọng $t/n$ (vì gia số là $N(0,t/n)$) và, dùng mômen bậc bốn của biến chuẩn, phương sai $2(t/n)^2$. Cộng $n$ số hạng độc lập như vậy, $E[Q_n]=t$ chính xác và $\mathrm{Var}(Q_n)=2t^2/n\to0$ khi $n\to\infty$, nên $Q_n\to t$ theo xác suất (và trung bình bình phương) — điều này chứng minh đẳng thức biến phân bậc hai.

Không khả vi ở đâu. Giả sử, để phản chứng, rằng $W$ khả vi tại một điểm $s$ nào đó với đạo hàm $W'(s)=L$ hữu hạn. Khi đó với $h$ nhỏ, $W_{s+h}-W_s\approx Lh$, nên bình phương gia số trên một khoảng nhỏ độ dài $h$ sẽ có bậc $h^2$ — nhưng tính toán biến phân bậc hai ở trên cho thấy bình phương gia số điển hình trên một khoảng độ dài $h$ có bậc $h$ (lớn hơn nhiều $h^2$ với $h$ nhỏ), và cộng các số hạng bậc-$h$ này trên $t/h$ khoảng chính là điều tạo ra một tổng hội tụ về số hữu hạn, dương $t$ thay vì về $0$.

Sự không tương thích này — khả vi sẽ buộc biến phân bậc hai bằng $0$, nhưng nó được chứng minh là $t>0$ — không thể hòa giải, nên không thể tồn tại điểm khả vi nào; một lập luận đầy đủ theo lý thuyết độ đo (của Paley, Wiener và Zygmund năm 1933) làm điều này chặt chẽ bằng cách chặn trực tiếp xác suất mà bất kỳ thương sai phân nào ở gần bất kỳ điểm nào vẫn bị chặn, cho thấy xác suất này đúng bằng không đồng thời cho mọi điểm trên quỹ đạo.

Đây là công cụ được dùng nhiều nhất trong giải tích ngẫu nhiên: nó cho bạn biết chính xác cách lấy vi phân một hàm của một đường đi ngẫu nhiên, điểm khởi đầu để suy ra động lực của bất kỳ đại lượng nào (giá quyền chọn, một đại lượng vật lý quan sát được) phụ thuộc vào chuyển động Brown.

Khai triển Taylor. Với $F$ trơn, khai triển Taylor bậc hai thông thường theo cả hai biến trên một bước nhỏ $\Delta t$ với $\Delta W=W_{t+\Delta t}-W_t$ có dạng $\Delta F\approx \partial_tF\,\Delta t+\partial_xF\,\Delta W+\tfrac12\partial_x^2F\,(\Delta W)^2+\tfrac12\partial_t^2F\,(\Delta t)^2+\partial_t\partial_xF\,\Delta t\,\Delta W+\cdots$ — đây thuần túy là giải tích, đúng cho bất kỳ đường trơn nào.

Sắp thứ tự các số hạng theo kích thước. Vì $\Delta W$ có bậc $\sqrt{\Delta t}$ (không phải $\Delta t$, như đã chỉ ra trong định lý trước), các số hạng có tỉ lệ: $\partial_tF\,\Delta t$ bậc $\Delta t$; $\partial_xF\,\Delta W$ bậc $\sqrt{\Delta t}$ (số hạng ngẫu nhiên chủ đạo, bậc dẫn đầu); $(\Delta t)^2$ và $\Delta t\,\Delta W$ bậc $(\Delta t)^2$ và $(\Delta t)^{3/2}$ tương ứng, không đáng kể so với $\Delta t$; nhưng $(\Delta W)^2$ bậc $\Delta t$ — cùng bậc với $\partial_tF\,\Delta t$, hoàn toàn không đáng bỏ qua, khác với giải tích thông thường nơi $(\Delta x)^2$ luôn không đáng kể so với $\Delta x$.

Thay $(\Delta W)^2$ bằng kỳ vọng của nó. Theo định lý biến phân bậc hai, cộng trên nhiều bước nhỏ $(\Delta W)^2$ hành xử như $\Delta t$ (kỳ vọng của nó, với các dao động quanh kỳ vọng đó triệt tiêu khi các bước co lại và được cộng lại), đó là sự biện minh không chính thức cho quy tắc thay thế trực giác $(dW_t)^2=dt$ trong giới hạn các bước vô cùng nhỏ.

Lấy giới hạn. Bỏ các số hạng bậc cao không đáng kể và thay $(\Delta W)^2\to dt$ trong giới hạn $\Delta t\to0$ biến khai triển Taylor thành dạng vi phân $dF=\Big(\partial_tF+\tfrac12\partial_x^2F\Big)dt+\partial_xF\,dW_t$ chính xác như đã khẳng định — số hạng $\tfrac12\partial_x^2F\,dt$ chính xác là đóng góp mà giải tích thông thường bỏ qua nhưng giải tích ngẫu nhiên phải giữ lại.