Chuyển động Brown có biến phân bậc hai dương và không khả vi ở đâu

Biến phân bậc hai. Phân hoạch $[0,t]$ thành $n$ mảnh bằng nhau độ dài $t/n$ và đặt $Q_n=\sum_{i=1}^n(W_{it/n}-W_{(i-1)t/n})^2$. Mỗi số hạng $(W_{it/n}-W_{(i-1)t/n})^2$ có kỳ vọng $t/n$ (vì gia số là $N(0,t/n)$) và, dùng mômen bậc bốn của biến chuẩn, phương sai $2(t/n)^2$. Cộng $n$ số hạng độc lập như vậy, $E[Q_n]=t$ chính xác và $\mathrm{Var}(Q_n)=2t^2/n\to0$ khi $n\to\infty$, nên $Q_n\to t$ theo xác suất (và trung bình bình phương) — điều này chứng minh đẳng thức biến phân bậc hai.

Không khả vi ở đâu. Giả sử, để phản chứng, rằng $W$ khả vi tại một điểm $s$ nào đó với đạo hàm $W'(s)=L$ hữu hạn. Khi đó với $h$ nhỏ, $W_{s+h}-W_s\approx Lh$, nên bình phương gia số trên một khoảng nhỏ độ dài $h$ sẽ có bậc $h^2$ — nhưng tính toán biến phân bậc hai ở trên cho thấy bình phương gia số điển hình trên một khoảng độ dài $h$ có bậc $h$ (lớn hơn nhiều $h^2$ với $h$ nhỏ), và cộng các số hạng bậc-$h$ này trên $t/h$ khoảng chính là điều tạo ra một tổng hội tụ về số hữu hạn, dương $t$ thay vì về $0$.

Sự không tương thích này — khả vi sẽ buộc biến phân bậc hai bằng $0$, nhưng nó được chứng minh là $t>0$ — không thể hòa giải, nên không thể tồn tại điểm khả vi nào; một lập luận đầy đủ theo lý thuyết độ đo (của Paley, Wiener và Zygmund năm 1933) làm điều này chặt chẽ bằng cách chặn trực tiếp xác suất mà bất kỳ thương sai phân nào ở gần bất kỳ điểm nào vẫn bị chặn, cho thấy xác suất này đúng bằng không đồng thời cho mọi điểm trên quỹ đạo.