Xây dựng công thức nghiệm

Bước 1 (Chuẩn hoá). Vì $a\neq0$, chia mọi hạng tử của $ax^2+bx+c=0$ cho $a$: được $x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$, một phương trình tương đương với hệ số bậc cao nhất bằng $1$.

Bước 2 (Hoàn thành bình phương). Hai hạng tử đầu $x^2+\dfrac{b}{a}x$ là khởi đầu của bình phương hoàn hảo $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}$. Cộng rồi trừ $\dfrac{b^2}{4a^2}$ vào $x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$ cho phép viết lại thành $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=0$.

Bước 3 (Tách bình phương). Chuyển các hạng tử hằng sang vế phải và gộp trên mẫu số chung $4a^2$: $-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=\dfrac{-b^2+4ac}{4a^2}=-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}=-\dfrac{\Delta}{4a^2}$. Được $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$.

Bước 4 (Khai căn hai vế). Khi $\Delta\ge0$, vế phải là số thực không âm, nên cả hai vế có căn bậc hai thực: $x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ (dấu $\pm$ đã bao hàm cả hai dấu, dù $a$ mang dấu gì).

Bước 5 (Tách x). Trừ $\dfrac{b}{2a}$ ở cả hai vế: $x=-\dfrac{b}{2a}\pm\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$, chính là $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$. Mọi bước đại số dùng (chia cho $a$ khác 0, cộng/trừ cùng một lượng, khai căn hai số không âm bằng nhau) đều đảo ngược được, nên công thức này vừa cần vừa đủ bất cứ khi nào $\Delta\ge0$.