Lớp 9

Phương trình bậc hai

Phương trình dạng ax²+bx+c=0, giải bằng phân tích nhân tử, hoàn thành bình phương hoặc công thức nghiệm.

Trực giácMột đường cong, không phải đường thẳng

Ném một quả bóng, nó không bay theo đường thẳng — trọng lực uốn cong quỹ đạo thành một parabol. Bất cứ khi nào một đại lượng phụ thuộc vào bình phương của đại lượng khác (diện tích một mảnh đất vuông, quãng đường rơi dưới trọng lực, tăng trưởng kép qua hai bước), quan hệ $y=ax^2+bx+c$ xuất hiện, và hỏi "khi nào y đạt một giá trị mục tiêu?" nghĩa là giải $ax^2+bx+c=0$ . Khác với đường thẳng, một parabol có thể cắt một độ cao cố định không lần, một lần, hoặc hai lần — nên phương trình bậc hai có thể có hai nghiệm, một nghiệm, hoặc vô nghiệm.

Parabol được vẽ là

y=x^2-2x-3

, có biệt thức

\Delta=16

và các nghiệm

x=-1,3

. Thay đổi

c

sẽ làm biệt thức đổi theo: tại

c=1

, phương trình có nghiệm kép (

\Delta=0

); khi

c>1

, phương trình không có nghiệm thực.

Định nghĩa: Phương trình bậc hai và biệt thức

Phương trình bậc hai theo $x$ là phương trình có thể viết về dạng chuẩn $ax^2+bx+c=0$ với $a\neq0$ . Biệt thức của nó là số $\Delta=b^2-4ac$ , xây dựng hoàn toàn từ ba hệ số, và — như các định lý dưới đây cho thấy — chỉ riêng dấu của nó quyết định phương trình có bao nhiêu nghiệm thực.

ax^2+bx+c=0

Ba kỹ thuật để giải phương trình bậc hai: phân tích nhân tử khi vế trái tách được thành hai nhân tử bậc nhất đơn giản (nhanh, nhưng chỉ hiệu quả với số đẹp), hoàn thành bình phương (luôn hiệu quả, và là động cơ đằng sau kỹ thuật tiếp theo), và công thức nghiệm $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ , luôn hiệu quả và không cần đoán.

x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}

Biệt thức cho ta biết điều gì
Dấu của Δ	Số nghiệm thực	Công thức nghiệm
$\Delta>0$	Hai, phân biệt	$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$
$\Delta=0$	Một (nghiệm kép)	$x=-\dfrac{b}{2a}$
$\Delta<0$	Không (thực)	—

Đại họcHai định lý cốt lõi

Định lý: Xây dựng công thức nghiệm

Với $a\neq0$ , mọi nghiệm thực của $ax^2+bx+c=0$ thoả $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ , với $\Delta=b^2-4ac$ ; ngược lại, bất cứ khi nào $\Delta\ge0$ công thức này cho ra nghiệm thực sự.

Vì sao đúng?

Phân tích nhân tử chỉ hiệu quả khi may mắn gặp số đẹp; hoàn thành bình phương biến bất kỳ phương trình bậc hai nào thành một bình phương hoàn hảo bằng một số, rồi ta có thể "gỡ" bằng căn bậc hai — điều này cho một công thức giải mọi phương trình bậc hai, không cần đoán.

Chứng minh

Bước 1 (Chuẩn hoá). Vì $a\neq0$ , chia mọi hạng tử của $ax^2+bx+c=0$ cho $a$ : được $x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$ , một phương trình tương đương với hệ số bậc cao nhất bằng $1$ .

Bước 2 (Hoàn thành bình phương). Hai hạng tử đầu $x^2+\dfrac{b}{a}x$ là khởi đầu của bình phương hoàn hảo $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}$ . Cộng rồi trừ $\dfrac{b^2}{4a^2}$ vào $x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$ cho phép viết lại thành $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=0$ .

Bước 3 (Tách bình phương). Chuyển các hạng tử hằng sang vế phải và gộp trên mẫu số chung $4a^2$ : $-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=\dfrac{-b^2+4ac}{4a^2}=-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}=-\dfrac{\Delta}{4a^2}$ . Được $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$ .

Bước 4 (Khai căn hai vế). Khi $\Delta\ge0$ , vế phải là số thực không âm, nên cả hai vế có căn bậc hai thực: $x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ (dấu $\pm$ đã bao hàm cả hai dấu, dù $a$ mang dấu gì).

Bước 5 (Tách x). Trừ $\dfrac{b}{2a}$ ở cả hai vế: $x=-\dfrac{b}{2a}\pm\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ , chính là $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ . Mọi bước đại số dùng (chia cho $a$ khác 0, cộng/trừ cùng một lượng, khai căn hai số không âm bằng nhau) đều đảo ngược được, nên công thức này vừa cần vừa đủ bất cứ khi nào $\Delta\ge0$ .

Định lý: Dấu biệt thức quyết định số nghiệm

Với $a\neq0$ , phương trình $ax^2+bx+c=0$ có đúng hai nghiệm thực phân biệt nếu $\Delta>0$ , đúng một nghiệm thực $x=-\dfrac{b}{2a}$ nếu $\Delta=0$ , và vô nghiệm thực nếu $\Delta<0$ .

Vì sao đúng?

Điều này biến câu hỏi "parabol cắt trục x bao nhiêu lần" — một câu hỏi về hình vẽ — thành "kiểm tra dấu của một số" — câu hỏi có thể trả lời mà không cần vẽ gì.

Chứng minh

Mọi bước của chứng minh này dùng lại đẳng thức $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$ đã lập ở định lý trước, đúng với mọi số thực $a,b,c$ thoả $a\neq0$ bất kể dấu của $\Delta$ — chỉ bước khai căn cuối cùng mới cần $\Delta\ge0$ .

**Trường hợp $\Delta>0$ .** Vế phải $\dfrac{\Delta}{4a^2}$ là số dương (tử dương trên mẫu dương $4a^2$ ), nên có hai căn bậc hai phân biệt, $+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ và $-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ , khác nhau vì $\sqrt{\Delta}\neq0$ . Mỗi căn cho một giá trị khác nhau của $x+\dfrac{b}{2a}$ , do đó một giá trị khác nhau của $x$ : đúng hai nghiệm thực phân biệt.

**Trường hợp $\Delta=0$ .** Vế phải trở thành $0$ , và số thực duy nhất có bình phương bằng $0$ chính là $0$ — không còn mơ hồ " $\pm$ " nữa. Vậy $x+\dfrac{b}{2a}=0$ , cho nghiệm duy nhất $x=-\dfrac{b}{2a}$ . Điều này khớp với phân tích trực tiếp vế trái thành $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0$ , một bình phương hoàn hảo chạm 0 đúng một lần.

**Trường hợp $\Delta<0$ .** Vế phải $\dfrac{\Delta}{4a^2}$ giờ âm. Nhưng vế trái $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$ là bình phương của một số thực, và bình phương của bất kỳ số thực nào luôn $\ge0$ — không bao giờ bằng một số âm. Vậy không số thực $x$ nào thoả $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$ trong trường hợp này, nghĩa là phương trình gốc hoàn toàn vô nghiệm thực.

Đại họcỨng dụng thực tiễn và Ví dụ minh họa

Phương trình bậc hai xuất hiện bất cứ khi nào có chuyển động với gia tốc không đổi, diện tích, hoặc tích của hai đại lượng đang thay đổi: độ cao của vật ném theo thời gian, kích thước một mảnh đất hình chữ nhật với chu vi cố định và diện tích mục tiêu, hoặc lợi nhuận của doanh nghiệp là hàm bậc hai theo giá. Giải "khi nào đại lượng bằng 0 (hoặc một giá trị mục tiêu)" chính là giải phương trình bậc hai.

Ví dụ: Vật lý — khi nào vật ném rơi xuống đất?

Một quả bóng được ném sao cho độ cao tính bằng mét sau $t$ giây là $h(t)=-t^2+4t+5$ . Tìm thời điểm bóng chạm đất (độ cao $0$ ).

Lời giải

Bước 1 (Cho độ cao bằng 0 và chuẩn hoá). Chạm đất nghĩa là $-t^2+4t+5=0$ . Nhân cả hai vế với $-1$ để hệ số bậc cao nhất dương: $t^2-4t-5=0$ .

Bước 2 (Phân tích nhân tử và diễn giải). Vì $-5\times1=-5$ và $-5+1=-4$ , phân tích được $(t-5)(t+1)=0$ , cho $t=5$ hoặc $t=-1$ . Thời gian âm không có ý nghĩa vật lý ở đây (bóng được ném lúc $t=0$ ), nên loại bỏ, còn lại $t=5$ giây là đáp số duy nhất có ý nghĩa.

Ví dụ: Kinh doanh — mức giá lợi nhuận bằng 0

Lợi nhuận hàng tháng (nghìn đô la) của một doanh nghiệp theo mức giá $x$ là $P(x)=-x^2+10x-16$ . Tìm hai mức giá mà doanh nghiệp hoà vốn (lợi nhuận $=0$ ).

Lời giải

Bước 1 (Cho lợi nhuận bằng 0 và chuẩn hoá). Hoà vốn nghĩa là $-x^2+10x-16=0$ . Nhân cả hai vế với $-1$ được $x^2-10x+16=0$ .

Bước 2 (Phân tích nhân tử và diễn giải cả hai nghiệm). Vì $-2\times-8=16$ và $-2+-8=-10$ , phân tích được $(x-2)(x-8)=0$ , cho $x=2$ và $x=8$ . Cả hai đều là mức giá có ý nghĩa vật lý: lợi nhuận bằng 0 đúng tại $x=2$ và $x=8$ , và (vì parabol lợi nhuận mở xuống) dương ở khoảng giữa — doanh nghiệp nên định giá đâu đó giữa hai điểm hoà vốn này để có lãi.

Tính biệt thức của $2x^2-4x-6=0$ .

Nếu $\Delta<0$ , phương trình bậc hai có bao nhiêu nghiệm thực?

Giải $x^2-5x+6=0$ bằng phân tích nhân tử.

Độ cao quả bóng là $h(t)=-t^2+4t+5$ . Ở thời điểm dương nào nó chạm đất?