Ảnh liên tục của tập compact là compact

Bước 1 — Kéo lùi một phủ mở bất kỳ của $f(K)$. Cho $\{V_i\}_{i \in I}$ là một họ tập mở bất kỳ trong $Y$ phủ $f(K)$, tức $f(K) \subseteq \bigcup_i V_i$. Vì $f$ liên tục, mỗi $f^{-1}(V_i)$ mở trong $X$. Với mọi $x \in K$, $f(x) \in f(K)$ nằm trong một $V_i$ nào đó, nên $x \in f^{-1}(V_i)$; vậy $\{f^{-1}(V_i)\}_{i \in I}$ là một phủ mở của $K$.

Bước 2 — Dùng tính compact của $K$ để trích phủ con hữu hạn. Vì $K$ compact, hữu hạn tập trong số này đã phủ $K$: tồn tại $i_1, \dots, i_n$ sao cho $K \subseteq f^{-1}(V_{i_1}) \cup \dots \cup f^{-1}(V_{i_n})$.

Bước 3 — Đẩy phủ con hữu hạn tiến lên. Áp dụng $f$ lên cả hai vế, $f(K) \subseteq f\big(f^{-1}(V_{i_1}) \cup \dots \cup f^{-1}(V_{i_n})\big) \subseteq V_{i_1} \cup \dots \cup V_{i_n}$ (dùng $f(f^{-1}(V)) \subseteq V$ luôn đúng). Vậy $\{V_{i_1}, \dots, V_{i_n}\}$ là một phủ con hữu hạn của $f(K)$ rút từ phủ ban đầu. Vì $\{V_i\}$ tùy ý, $f(K)$ compact.

Bước 4 — Hệ quả: tập con compact của không gian Hausdorff là đóng. Cho $K \subseteq Y$ compact, $Y$ Hausdorff, cố định $y \notin K$ bất kỳ. Với mỗi $x \in K$, tính Hausdorff cho hai tập mở rời nhau $U_x \ni x$ và $W_x \ni y$. Các tập $\{U_x\}_{x \in K}$ phủ $K$, nên hữu hạn $U_{x_1}, \dots, U_{x_n}$ đã phủ $K$ nhờ tính compact. Khi đó $W = W_{x_1} \cap \dots \cap W_{x_n}$ là giao hữu hạn các tập mở (nên mở), chứa $y$, và rời với mọi $U_{x_j}$, do đó rời với $K \subseteq \bigcup_j U_{x_j}$. Vậy mọi điểm ngoài $K$ đều có một lân cận mở không giao với $K$: phần bù của $K$ mở, tức $K$ đóng.