Không gian tô pô, compact, liên thông

Nó giải thích vì sao hàm liên tục trên đoạn đóng bị chặn luôn đạt giá trị lớn nhất, và là động cơ trừu tượng đứng sau "compact + Hausdorff = tốt như tập đóng bị chặn" xuyên suốt giải tích.

Bước 1 — Kéo lùi một phủ mở bất kỳ của $f(K)$. Cho $\{V_i\}_{i \in I}$ là một họ tập mở bất kỳ trong $Y$ phủ $f(K)$, tức $f(K) \subseteq \bigcup_i V_i$. Vì $f$ liên tục, mỗi $f^{-1}(V_i)$ mở trong $X$. Với mọi $x \in K$, $f(x) \in f(K)$ nằm trong một $V_i$ nào đó, nên $x \in f^{-1}(V_i)$; vậy $\{f^{-1}(V_i)\}_{i \in I}$ là một phủ mở của $K$.

Bước 2 — Dùng tính compact của $K$ để trích phủ con hữu hạn. Vì $K$ compact, hữu hạn tập trong số này đã phủ $K$: tồn tại $i_1, \dots, i_n$ sao cho $K \subseteq f^{-1}(V_{i_1}) \cup \dots \cup f^{-1}(V_{i_n})$.

Bước 3 — Đẩy phủ con hữu hạn tiến lên. Áp dụng $f$ lên cả hai vế, $f(K) \subseteq f\big(f^{-1}(V_{i_1}) \cup \dots \cup f^{-1}(V_{i_n})\big) \subseteq V_{i_1} \cup \dots \cup V_{i_n}$ (dùng $f(f^{-1}(V)) \subseteq V$ luôn đúng). Vậy $\{V_{i_1}, \dots, V_{i_n}\}$ là một phủ con hữu hạn của $f(K)$ rút từ phủ ban đầu. Vì $\{V_i\}$ tùy ý, $f(K)$ compact.

Bước 4 — Hệ quả: tập con compact của không gian Hausdorff là đóng. Cho $K \subseteq Y$ compact, $Y$ Hausdorff, cố định $y \notin K$ bất kỳ. Với mỗi $x \in K$, tính Hausdorff cho hai tập mở rời nhau $U_x \ni x$ và $W_x \ni y$. Các tập $\{U_x\}_{x \in K}$ phủ $K$, nên hữu hạn $U_{x_1}, \dots, U_{x_n}$ đã phủ $K$ nhờ tính compact. Khi đó $W = W_{x_1} \cap \dots \cap W_{x_n}$ là giao hữu hạn các tập mở (nên mở), chứa $y$, và rời với mọi $U_{x_j}$, do đó rời với $K \subseteq \bigcup_j U_{x_j}$. Vậy mọi điểm ngoài $K$ đều có một lân cận mở không giao với $K$: phần bù của $K$ mở, tức $K$ đóng.

Đây là nguồn gốc thật sự của định lý giá trị trung gian trong giải tích — tính liên thông, chứ không phải công thức cụ thể của $f$, là điều buộc mọi giá trị trung gian phải đạt được, và cùng lập luận này áp dụng cho mọi miền liên thông, không chỉ các khoảng trong $\mathbb{R}$.

Bước 1 — Giả sử phản chứng $f(X)$ không liên thông. Khi đó $f(X) = A \cup B$ với $A, B$ rời nhau, khác rỗng, mỗi tập đều mở trong tô pô con của $f(X)$: tồn tại các tập mở $A', B'$ trong $Y$ sao cho $A = f(X) \cap A'$ và $B = f(X) \cap B'$.

Bước 2 — Kéo phép tách về $X$. Đặt $P = f^{-1}(A')$ và $Q = f^{-1}(B')$. Vì $f$ liên tục, $P$ và $Q$ mở trong $X$. Mọi $x \in X$ có $f(x) \in f(X) = A \cup B$, nên $f(x) \in A'$ hoặc $f(x) \in B'$, tức $x \in P$ hoặc $x \in Q$: vậy $X = P \cup Q$. Ngoài ra $P$ và $Q$ đều khác rỗng (vì $A, B$ khác rỗng và được $f$ đạt tới), và $P \cap Q = \emptyset$ (nếu $x \in P \cap Q$ thì $f(x) \in A' \cap B' \cap f(X) = A \cap B = \emptyset$, vô lý).

Bước 3 — Mâu thuẫn. $P$ và $Q$ là hai tập mở rời nhau khác rỗng với $X = P \cup Q$, đúng là định nghĩa $X$ không liên thông. Điều này mâu thuẫn với giả thiết $X$ liên thông. Vậy $f(X)$ không thể không liên thông: nó liên thông.

Bước 4 — Hệ quả về khoảng. Các tập con liên thông của $\mathbb{R}$ chính xác là các khoảng (một sự kiện chuẩn: tập con nào bỏ sót một số thực nằm giữa hai điểm của nó sẽ mất tính liên thông qua cùng phép tách bằng tập mở). Vì $f(X)$ liên thông theo Bước 1–3, $f(X)$ là một khoảng của $\mathbb{R}$, nên nó chứa mọi số thực nằm giữa hai phần tử bất kỳ $f(a)$ và $f(b)$ — định lý giá trị trung gian cổ điển, giờ được nhìn như một trường hợp riêng của một sự kiện thuần túy tô pô.