Ảnh liên tục của không gian liên thông là liên thông (định lý giá trị trung gian tổng quát)

Bước 1 — Giả sử phản chứng $f(X)$ không liên thông. Khi đó $f(X) = A \cup B$ với $A, B$ rời nhau, khác rỗng, mỗi tập đều mở trong tô pô con của $f(X)$: tồn tại các tập mở $A', B'$ trong $Y$ sao cho $A = f(X) \cap A'$ và $B = f(X) \cap B'$.

Bước 2 — Kéo phép tách về $X$. Đặt $P = f^{-1}(A')$ và $Q = f^{-1}(B')$. Vì $f$ liên tục, $P$ và $Q$ mở trong $X$. Mọi $x \in X$ có $f(x) \in f(X) = A \cup B$, nên $f(x) \in A'$ hoặc $f(x) \in B'$, tức $x \in P$ hoặc $x \in Q$: vậy $X = P \cup Q$. Ngoài ra $P$ và $Q$ đều khác rỗng (vì $A, B$ khác rỗng và được $f$ đạt tới), và $P \cap Q = \emptyset$ (nếu $x \in P \cap Q$ thì $f(x) \in A' \cap B' \cap f(X) = A \cap B = \emptyset$, vô lý).

Bước 3 — Mâu thuẫn. $P$ và $Q$ là hai tập mở rời nhau khác rỗng với $X = P \cup Q$, đúng là định nghĩa $X$ không liên thông. Điều này mâu thuẫn với giả thiết $X$ liên thông. Vậy $f(X)$ không thể không liên thông: nó liên thông.

Bước 4 — Hệ quả về khoảng. Các tập con liên thông của $\mathbb{R}$ chính xác là các khoảng (một sự kiện chuẩn: tập con nào bỏ sót một số thực nằm giữa hai điểm của nó sẽ mất tính liên thông qua cùng phép tách bằng tập mở). Vì $f(X)$ liên thông theo Bước 1–3, $f(X)$ là một khoảng của $\mathbb{R}$, nên nó chứa mọi số thực nằm giữa hai phần tử bất kỳ $f(a)$ và $f(b)$ — định lý giá trị trung gian cổ điển, giờ được nhìn như một trường hợp riêng của một sự kiện thuần túy tô pô.