Định lý Giá trị chính quy (Định lý Tạo ảnh)

Cố định $p \in f^{-1}(q)$. Vì $df_p: T_pM \to T_qN$ toàn ánh và $\dim T_pM = m \ge n = \dim T_qN$, hạt nhân $K = \ker df_p$ có chiều $m-n$. Chọn phần bù tuyến tính $W$ sao cho $T_pM = K \oplus W$ với $\dim W = n$; khi đó $df_p|_W : W \to T_qN$ là đẳng cấu.

Làm việc trong tọa độ địa phương tâm tại $p$ và $q$ (qua các bản đồ), sao cho $f$ trở thành ánh xạ trơn $\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ với $f(0)=0$ và $df_0$ toàn ánh. Sắp lại tọa độ $(x,y) \in \mathbb{R}^{m-n}\times\mathbb{R}^n$ sao cho $\partial f/\partial y$ tại $0$ là khối $n\times n$ khả nghịch (có thể vì $df_0$ có hạng $n$).

Định nghĩa $\Phi(x,y) = (x, f(x,y))$. Khi đó $d\Phi_0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ \partial f/\partial x & \partial f/\partial y \end{pmatrix}$ có $\det d\Phi_0 = \det(\partial f/\partial y) \ne 0$, nên $\Phi$ là vi phôi địa phương theo Định lý Hàm ngược. Trong tọa độ mới $(x,y') = \Phi(x,y)$, phương trình $f=q$ (tức $f=0$) trở thành chính xác $y'=0$.

Vậy gần $p$, $f^{-1}(q)$ là tập $\{y'=0\}$, mà trong các tọa độ này chính là một lát tọa độ chiều $(m-n)$ — một bản đồ trơn cho $f^{-1}(q)$. Vì $p$ tùy ý, mọi điểm của $f^{-1}(q)$ đều có bản đồ như vậy, và các ánh xạ chuyển tiếp giữa các bản đồ này là hạn chế của các ánh xạ chuyển tiếp (trơn) của $M$, nên trơn. Do đó $f^{-1}(q)$ là một đa tạp con trơn chiều $(m-n)$.