Đa tạp trơn

Định lý này là công cụ chính để tạo ra đa tạp: thay vì xây tay một atlas, ta mô tả một hình là tập không của một ánh xạ và chỉ cần kiểm tra một điều kiện đại số tuyến tính (tính toàn ánh của vi phân) tại mỗi điểm nghiệm.

Cố định $p \in f^{-1}(q)$. Vì $df_p: T_pM \to T_qN$ toàn ánh và $\dim T_pM = m \ge n = \dim T_qN$, hạt nhân $K = \ker df_p$ có chiều $m-n$. Chọn phần bù tuyến tính $W$ sao cho $T_pM = K \oplus W$ với $\dim W = n$; khi đó $df_p|_W : W \to T_qN$ là đẳng cấu.

Làm việc trong tọa độ địa phương tâm tại $p$ và $q$ (qua các bản đồ), sao cho $f$ trở thành ánh xạ trơn $\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ với $f(0)=0$ và $df_0$ toàn ánh. Sắp lại tọa độ $(x,y) \in \mathbb{R}^{m-n}\times\mathbb{R}^n$ sao cho $\partial f/\partial y$ tại $0$ là khối $n\times n$ khả nghịch (có thể vì $df_0$ có hạng $n$).

Định nghĩa $\Phi(x,y) = (x, f(x,y))$. Khi đó $d\Phi_0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ \partial f/\partial x & \partial f/\partial y \end{pmatrix}$ có $\det d\Phi_0 = \det(\partial f/\partial y) \ne 0$, nên $\Phi$ là vi phôi địa phương theo Định lý Hàm ngược. Trong tọa độ mới $(x,y') = \Phi(x,y)$, phương trình $f=q$ (tức $f=0$) trở thành chính xác $y'=0$.

Vậy gần $p$, $f^{-1}(q)$ là tập $\{y'=0\}$, mà trong các tọa độ này chính là một lát tọa độ chiều $(m-n)$ — một bản đồ trơn cho $f^{-1}(q)$. Vì $p$ tùy ý, mọi điểm của $f^{-1}(q)$ đều có bản đồ như vậy, và các ánh xạ chuyển tiếp giữa các bản đồ này là hạn chế của các ánh xạ chuyển tiếp (trơn) của $M$, nên trơn. Do đó $f^{-1}(q)$ là một đa tạp con trơn chiều $(m-n)$.

Đẳng thức duy nhất này hợp nhất định lý cơ bản của giải tích, định lý Green, định lý phân kỳ (divergence), và định lý Stokes cổ điển trong giải tích vectơ thành một phát biểu duy nhất về dạng vi phân, và là động cơ giải tích đằng sau đối đồng điều de Rham.

Bước 1 (trường hợp cục bộ, nửa không gian). Trước hết giả sử $M = \mathbb{H}^n = \{x_n \ge 0\}$ và $\omega$ có giá compact trong một bản đồ duy nhất. Viết $\omega = \sum_i f_i\, dx_1\wedge\cdots\widehat{dx_i}\cdots\wedge dx_n$. Khi đó $d\omega = \sum_i (-1)^{i-1}\frac{\partial f_i}{\partial x_i}dx_1\wedge\cdots\wedge dx_n$, và $\int_{\mathbb{H}^n} d\omega = \sum_i (-1)^{i-1}\int \frac{\partial f_i}{\partial x_i}\,dx_1\cdots dx_n$.

Với $i < n$, lấy tích phân $\partial f_i/\partial x_i$ theo $x_i \in \mathbb{R}$ trước và dùng giá compact cho $0$ theo Định lý cơ bản giải tích thông thường ($f_i \to 0$ tại $x_i=\pm\infty$). Với $i=n$, lấy tích phân theo $x_n \in [0,\infty)$ cho $\int \frac{\partial f_n}{\partial x_n}dx_n = [f_n]_0^\infty = -f_n(x_1,\dots,x_{n-1},0)$ (lại dùng giá compact tại $x_n=\infty$), nên chỉ số hạng $i=n$ tồn tại: $\int_{\mathbb{H}^n}d\omega = (-1)^{n-1}\int_{\mathbb{R}^{n-1}} \left(-f_n(x_1,\dots,x_{n-1},0)\right)dx_1\cdots dx_{n-1}$.

Trên biên $\partial\mathbb{H}^n = \{x_n=0\}$ (định hướng sao cho pháp tuyến ngoài $-\partial_n$ đứng cuối, cho dấu định hướng $(-1)^n$), hạn chế của $\omega$ là $\omega|_{\partial} = f_n\, dx_1\wedge\cdots\wedge dx_{n-1}$ (mọi số hạng khác hạn chế về $0$ vì chứa $dx_n$ hoặc triệt tiêu trên lát cắt). Kiểm tra dấu trực tiếp theo quy ước định hướng biên chuẩn cho $\int_{\partial \mathbb{H}^n}\omega = (-1)^n \int f_n\,dx_1\cdots dx_{n-1}$, khớp chính xác công thức trên. Vậy $\int_{\mathbb{H}^n}d\omega = \int_{\partial\mathbb{H}^n}\omega$ trong mô hình cục bộ này.

Bước 2 (phân hoạch đơn vị, toàn cục hóa). Với $M$ tổng quát và $\omega$ tổng quát, phủ $M$ bởi hữu hạn bản đồ $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}$ (dùng tính compact) và chọn phân hoạch đơn vị trơn $\{\rho_\alpha\}$ phụ thuộc phủ này, tức $\sum_\alpha \rho_\alpha = 1$ với $\operatorname{supp}\rho_\alpha \subset U_\alpha$. Viết $\omega = \sum_\alpha \rho_\alpha\omega$; mỗi $\rho_\alpha\omega$ có giá compact trong một bản đồ duy nhất, mà bản đồ này hoặc hoàn toàn nằm trong phần trong (khi đó $\int_{\partial}\rho_\alpha\omega = 0$ tầm thường và $\int_M d(\rho_\alpha\omega)=0$ theo Bước 1 áp dụng cho $\mathbb{R}^n$ không biên) hoặc gặp $\partial M$ (Bước 1 áp dụng trực tiếp sau khi chuyển qua $\varphi_\alpha$, giữ nguyên cả $d$ lẫn định hướng).

Vì $d$ tuyến tính, $d\omega = \sum_\alpha d(\rho_\alpha\omega)$ (dùng $\sum_\alpha d\rho_\alpha = d(\sum_\alpha \rho_\alpha) = d(1) = 0$ để xử lý đúng các số hạng chéo $d\rho_\alpha \wedge \omega$ khi cộng lại). Lấy tích phân và cộng các đẳng thức cục bộ từ Bước 1 trên mọi $\alpha$: $\int_M d\omega = \sum_\alpha \int_M d(\rho_\alpha\omega) = \sum_\alpha \int_{\partial M} \rho_\alpha\omega = \int_{\partial M}\omega$, chính xác là $\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega$.