Định lý so sánh cho giải xạ ảnh

Bước 1 (nâng ánh xạ đồng nhất từng bậc). Xây dựng $f_n: P_n \to Q_n$ theo quy nạp. Với $n=0$: vì $P_0$ xạ ảnh và $Q_0 \to M$ toàn ánh, ánh xạ $P_0 \to M$ nâng qua $Q_0 \to M$ cho $f_0: P_0 \to Q_0$. Theo quy nạp, giả sử $f_{n-1}$ đã dựng với $d f_{n-1} = f_{n-2} d$ (hoặc là ánh xạ tăng cường khi $n=1$), hợp $P_n \xrightarrow{d} P_{n-1} \xrightarrow{f_{n-1}} Q_{n-1}$ rơi vào $\ker(Q_{n-1}\to Q_{n-2})=\operatorname{im}(Q_n \to Q_{n-1})$ theo tính khớp của giải $Q$ và tính giao hoán đã có, và vì $P_n$ xạ ảnh, ánh xạ này nâng qua toàn ánh $Q_n \to \operatorname{im}(Q_n\to Q_{n-1})$ cho $f_n: P_n \to Q_n$ với $d f_n = f_{n-1} d$.

Bước 2 (dựng đối xứng $g_\bullet$). Lập luận giống hệt với vai trò $P_\bullet$ và $Q_\bullet$ đổi chỗ cho ra $g_\bullet: Q_\bullet \to P_\bullet$ nâng $\mathrm{id}_M$.

Bước 3 (duy nhất tới đồng luân). Giả sử $f_\bullet, f'_\bullet: P_\bullet \to Q_\bullet$ là hai ánh xạ dây chuyền cùng nâng $\mathrm{id}_M$; đặt $h_\bullet = f_\bullet - f'_\bullet$, một ánh xạ dây chuyền nâng $0$. Dựng đồng luân dây chuyền $s_n: P_n \to Q_{n+1}$ với $h_n = d s_n + s_{n-1} d$ theo quy nạp: với $n=0$, $h_0: P_0 \to Q_0$ hợp với $Q_0\to M$ bằng $0$ (vì $h$ nâng $0$), nên $h_0$ phân tích qua $\ker(Q_0\to M)=\operatorname{im}(Q_1\to Q_0)$; tính xạ ảnh của $P_0$ nâng phân tích này thành $s_0: P_0 \to Q_1$ với $d s_0 = h_0$. Theo quy nạp, khi $s_{n-1}$ đã dựng, $h_n - s_{n-1} d: P_n \to Q_n$ hợp với $d: Q_n \to Q_{n-1}$ triệt tiêu theo hệ thức quy nạp, nên (theo tính khớp của $Q_\bullet$) nó phân tích qua $\operatorname{im}(Q_{n+1}\to Q_n)$, và tính xạ ảnh của $P_n$ nâng điều này thành $s_n$ với $d s_n = h_n - s_{n-1}d$, tức $h_n = d s_n + s_{n-1}d$ như yêu cầu.

Bước 4 (kết luận). Bước 3 cho thấy hai phép nâng bất kỳ của $\mathrm{id}_M$ đồng luân dây chuyền, đặc biệt $g_\bullet f_\bullet$ và $\mathrm{id}_{P_\bullet}$ đều là phép nâng của $\mathrm{id}_M \circ \mathrm{id}_M = \mathrm{id}_M$ (qua $P_\bullet \to Q_\bullet \to P_\bullet$), nên $f_\bullet \simeq g_\bullet$ có nghĩa $g_\bullet f_\bullet \simeq \mathrm{id}_{P_\bullet}$, và đối xứng $f_\bullet g_\bullet \simeq \mathrm{id}_{Q_\bullet}$. Đây chính xác là định nghĩa tương đương đồng luân dây chuyền, và vì $\operatorname{Hom}_R(-,B)$ và $-\otimes_R B$ đưa các ánh xạ đồng luân dây chuyền tới các ánh xạ đồng luân dây chuyền, các nhóm đồng điều thu được $\operatorname{Ext}^n_R(A,B)$, $\operatorname{Tor}^R_n(A,B)$ tính từ $P_\bullet$ hoặc $Q_\bullet$ đẳng cấu với nhau.