Đại số đồng điều

Đây là công cụ tính toán hữu ích nhất trong đại số đồng điều: nó cho phép tính đồng điều của một đối tượng phức tạp $A$ từ đồng điều của hai mảnh đơn giản hơn $A'$ và $A''$, với cái giá là phải hiểu một ánh xạ nối. Mọi dãy khớp dài dùng trong thực tế (Mayer–Vietoris, định lý hệ số phổ dụng, các ứng dụng của bổ đề năm) đều là một trường hợp của định lý này.

Bước 1 (dựng $\partial$). Cho $[a''] \in H_n(A'')$ với đại diện chu trình $a'' \in A''_n$, $d(a'')=0$. Vì $A_n \to A''_n$ toàn ánh, nâng $a''$ lên thành một $a \in A_n$ nào đó. Khi đó $d(a) \in A_n$ ánh xạ tới $d(a'')=0$ trong $A''_{n-1}$, nên theo tính khớp $d(a) = \iota(a')$ với một $a' \in A'_{n-1}$ duy nhất (dùng tính đơn ánh của $\iota: A' \to A$). Đặt $\partial[a''] := [a']$.

Bước 2 ($a'$ là chu trình, và $\partial$ được định nghĩa tốt). Vì $\iota$ đơn ánh và các ánh xạ dây chuyền giao hoán với $d$, $\iota(d a') = d(\iota a') = d(d a) = 0$, nên $d a' = 0$ và $[a']$ thực sự là một lớp đồng điều. Nếu chọn nâng khác $\tilde a$ của $a''$, thì $\tilde a - a$ ánh xạ tới $0$ trong $A''_n$, nên $\tilde a - a = \iota(c)$ với $c \in A'_n$ nào đó; khi đó hai lớp thu được trong $H_{n-1}(A')$ chênh nhau $[d(c)] = 0$. Kiểm tra tương tự cho thấy $\partial$ không phụ thuộc đại diện chu trình của $[a'']$ (thay $a''$ bằng $a'' + d(b'')$ làm $a$ thay đổi bởi một biên, do đó $a'$ cũng thay đổi bởi một biên).

Bước 3 (khớp tại $H_n(A)$ và $H_n(A'')$). Tính khớp tại $H_n(A)$ (ảnh của $H_n(A')\to H_n(A)$ bằng nhân của $H_n(A)\to H_n(A'')$) và tại $H_n(A'')$ (ảnh của $H_n(A)\to H_n(A'')$ bằng nhân của $\partial$) đều suy ra từ việc truy vết sơ đồ trực tiếp trên các đại diện, chỉ dùng $\iota$ đơn ánh, ánh xạ thương toàn ánh, và $\operatorname{im}\iota = \ker(\text{quotient})$ ở mức dây chuyền — cùng kiểu lập luận như Bước 1–2, áp dụng từng bậc một.

Bước 4 (khớp tại $H_{n-1}(A')$). Cuối cùng kiểm tra $\operatorname{im}\partial = \ker(H_{n-1}(A')\to H_{n-1}(A))$: nếu $\partial[a'']=[a']$ thì $\iota(a')=d(a)$ là một biên trong $A$, nên $[a']$ ánh xạ tới $0$ trong $H_{n-1}(A)$, cho $\operatorname{im}\partial \subseteq \ker$; ngược lại nếu $\iota(a')=d(a)$ với $a\in A_n$ nào đó, chạy ngược Bước 1 cho thấy $a''=$ ảnh của $a$ thỏa $\partial[a'']=[a']$, cho chiều bao hàm ngược lại. Điều này hoàn tất tính khớp tại mọi vị trí, và toàn bộ cách dựng chính là bổ đề con rắn cổ điển.

Ext và Tor được định nghĩa bằng cách chọn một giải xạ ảnh rồi áp dụng một hàm tử. Định lý này chính là điều làm cho định nghĩa đó hợp lệ: nó đảm bảo kết quả không bao giờ phụ thuộc vào giải nào ta chọn, nên $\operatorname{Ext}^n_R(A,B)$ và $\operatorname{Tor}^R_n(A,B)$ là bất biến thực sự của cặp mô-đun, không phải sản phẩm phụ của một lựa chọn.

Bước 1 (nâng ánh xạ đồng nhất từng bậc). Xây dựng $f_n: P_n \to Q_n$ theo quy nạp. Với $n=0$: vì $P_0$ xạ ảnh và $Q_0 \to M$ toàn ánh, ánh xạ $P_0 \to M$ nâng qua $Q_0 \to M$ cho $f_0: P_0 \to Q_0$. Theo quy nạp, giả sử $f_{n-1}$ đã dựng với $d f_{n-1} = f_{n-2} d$ (hoặc là ánh xạ tăng cường khi $n=1$), hợp $P_n \xrightarrow{d} P_{n-1} \xrightarrow{f_{n-1}} Q_{n-1}$ rơi vào $\ker(Q_{n-1}\to Q_{n-2})=\operatorname{im}(Q_n \to Q_{n-1})$ theo tính khớp của giải $Q$ và tính giao hoán đã có, và vì $P_n$ xạ ảnh, ánh xạ này nâng qua toàn ánh $Q_n \to \operatorname{im}(Q_n\to Q_{n-1})$ cho $f_n: P_n \to Q_n$ với $d f_n = f_{n-1} d$.

Bước 2 (dựng đối xứng $g_\bullet$). Lập luận giống hệt với vai trò $P_\bullet$ và $Q_\bullet$ đổi chỗ cho ra $g_\bullet: Q_\bullet \to P_\bullet$ nâng $\mathrm{id}_M$.

Bước 3 (duy nhất tới đồng luân). Giả sử $f_\bullet, f'_\bullet: P_\bullet \to Q_\bullet$ là hai ánh xạ dây chuyền cùng nâng $\mathrm{id}_M$; đặt $h_\bullet = f_\bullet - f'_\bullet$, một ánh xạ dây chuyền nâng $0$. Dựng đồng luân dây chuyền $s_n: P_n \to Q_{n+1}$ với $h_n = d s_n + s_{n-1} d$ theo quy nạp: với $n=0$, $h_0: P_0 \to Q_0$ hợp với $Q_0\to M$ bằng $0$ (vì $h$ nâng $0$), nên $h_0$ phân tích qua $\ker(Q_0\to M)=\operatorname{im}(Q_1\to Q_0)$; tính xạ ảnh của $P_0$ nâng phân tích này thành $s_0: P_0 \to Q_1$ với $d s_0 = h_0$. Theo quy nạp, khi $s_{n-1}$ đã dựng, $h_n - s_{n-1} d: P_n \to Q_n$ hợp với $d: Q_n \to Q_{n-1}$ triệt tiêu theo hệ thức quy nạp, nên (theo tính khớp của $Q_\bullet$) nó phân tích qua $\operatorname{im}(Q_{n+1}\to Q_n)$, và tính xạ ảnh của $P_n$ nâng điều này thành $s_n$ với $d s_n = h_n - s_{n-1}d$, tức $h_n = d s_n + s_{n-1}d$ như yêu cầu.

Bước 4 (kết luận). Bước 3 cho thấy hai phép nâng bất kỳ của $\mathrm{id}_M$ đồng luân dây chuyền, đặc biệt $g_\bullet f_\bullet$ và $\mathrm{id}_{P_\bullet}$ đều là phép nâng của $\mathrm{id}_M \circ \mathrm{id}_M = \mathrm{id}_M$ (qua $P_\bullet \to Q_\bullet \to P_\bullet$), nên $f_\bullet \simeq g_\bullet$ có nghĩa $g_\bullet f_\bullet \simeq \mathrm{id}_{P_\bullet}$, và đối xứng $f_\bullet g_\bullet \simeq \mathrm{id}_{Q_\bullet}$. Đây chính xác là định nghĩa tương đương đồng luân dây chuyền, và vì $\operatorname{Hom}_R(-,B)$ và $-\otimes_R B$ đưa các ánh xạ đồng luân dây chuyền tới các ánh xạ đồng luân dây chuyền, các nhóm đồng điều thu được $\operatorname{Ext}^n_R(A,B)$, $\operatorname{Tor}^R_n(A,B)$ tính từ $P_\bullet$ hoặc $Q_\bullet$ đẳng cấu với nhau.