Dãy khớp dài trong đồng điều

Bước 1 (dựng $\partial$). Cho $[a''] \in H_n(A'')$ với đại diện chu trình $a'' \in A''_n$, $d(a'')=0$. Vì $A_n \to A''_n$ toàn ánh, nâng $a''$ lên thành một $a \in A_n$ nào đó. Khi đó $d(a) \in A_n$ ánh xạ tới $d(a'')=0$ trong $A''_{n-1}$, nên theo tính khớp $d(a) = \iota(a')$ với một $a' \in A'_{n-1}$ duy nhất (dùng tính đơn ánh của $\iota: A' \to A$). Đặt $\partial[a''] := [a']$.

Bước 2 ($a'$ là chu trình, và $\partial$ được định nghĩa tốt). Vì $\iota$ đơn ánh và các ánh xạ dây chuyền giao hoán với $d$, $\iota(d a') = d(\iota a') = d(d a) = 0$, nên $d a' = 0$ và $[a']$ thực sự là một lớp đồng điều. Nếu chọn nâng khác $\tilde a$ của $a''$, thì $\tilde a - a$ ánh xạ tới $0$ trong $A''_n$, nên $\tilde a - a = \iota(c)$ với $c \in A'_n$ nào đó; khi đó hai lớp thu được trong $H_{n-1}(A')$ chênh nhau $[d(c)] = 0$. Kiểm tra tương tự cho thấy $\partial$ không phụ thuộc đại diện chu trình của $[a'']$ (thay $a''$ bằng $a'' + d(b'')$ làm $a$ thay đổi bởi một biên, do đó $a'$ cũng thay đổi bởi một biên).

Bước 3 (khớp tại $H_n(A)$ và $H_n(A'')$). Tính khớp tại $H_n(A)$ (ảnh của $H_n(A')\to H_n(A)$ bằng nhân của $H_n(A)\to H_n(A'')$) và tại $H_n(A'')$ (ảnh của $H_n(A)\to H_n(A'')$ bằng nhân của $\partial$) đều suy ra từ việc truy vết sơ đồ trực tiếp trên các đại diện, chỉ dùng $\iota$ đơn ánh, ánh xạ thương toàn ánh, và $\operatorname{im}\iota = \ker(\text{quotient})$ ở mức dây chuyền — cùng kiểu lập luận như Bước 1–2, áp dụng từng bậc một.

Bước 4 (khớp tại $H_{n-1}(A')$). Cuối cùng kiểm tra $\operatorname{im}\partial = \ker(H_{n-1}(A')\to H_{n-1}(A))$: nếu $\partial[a'']=[a']$ thì $\iota(a')=d(a)$ là một biên trong $A$, nên $[a']$ ánh xạ tới $0$ trong $H_{n-1}(A)$, cho $\operatorname{im}\partial \subseteq \ker$; ngược lại nếu $\iota(a')=d(a)$ với $a\in A_n$ nào đó, chạy ngược Bước 1 cho thấy $a''=$ ảnh của $a$ thỏa $\partial[a'']=[a']$, cho chiều bao hàm ngược lại. Điều này hoàn tất tính khớp tại mọi vị trí, và toàn bộ cách dựng chính là bổ đề con rắn cổ điển.