Tính bị chặn trên L² của biến đổi Hilbert

Bước 1 (tìm nhân tử qua chính quy hóa). Hạt nhân $1/(\pi x)$ không khả tích, nên xấp xỉ nó: với $\epsilon>0$ đặt $k_\epsilon(x) = \frac{1}{\pi}\frac{x}{x^2+\epsilon^2}$, một xấp xỉ lẻ, khả tích hội tụ về hạt nhân giá trị chính khi $\epsilon\to 0$. Một tính toán trực tiếp (contour hoặc tra bảng) cho $\hat k_\epsilon(\xi) = -i\,\operatorname{sgn}(\xi)\, e^{-2\pi\epsilon|\xi|}$.

Bước 2 (qua giới hạn). Khi $\epsilon \to 0^+$, $e^{-2\pi\epsilon|\xi|} \to 1$ với mọi $\xi \ne 0$ cố định, và $k_\epsilon * f \to Hf$ với $f$ 'tốt'. Chuyển giới hạn vào trong định lý tích chập cho đẳng thức nhân tử $\widehat{Hf}(\xi) = -i\,\operatorname{sgn}(\xi)\, \hat f(\xi)$: biến đổi Hilbert tác động về phía tần số bằng cách nhân với $-i\,\operatorname{sgn}(\xi)$.

Bước 3 (áp dụng Plancherel). Vì $|-i\,\operatorname{sgn}(\xi)| = 1$ với mọi $\xi \ne 0$ (một điểm có độ đo không nên không ảnh hưởng tích phân), $|\widehat{Hf}(\xi)|^2 = |\hat f(\xi)|^2$ hầu khắp nơi theo $\xi$. Lấy tích phân và dùng định lý Plancherel ở cả hai vế cho $\|Hf\|_{L^2} = \|f\|_{L^2}$: biến đổi Hilbert là một phép đẳng cự trên $L^2(\mathbb{R})$, đặc biệt bị chặn.