Tích phân kỳ dị, Calderón–Zygmund

Đây là trường hợp cơ sở mà mọi định lý Calderón–Zygmund tổng quát dựa vào: trước khi kiểm soát một toán tử tích phân kỳ dị trên $L^1$ hay $L^p$, trước hết cần nó hoạt động tốt trên $L^2$, nơi Plancherel cho tiếp cận trực tiếp qua biến đổi Fourier.

Bước 1 (tìm nhân tử qua chính quy hóa). Hạt nhân $1/(\pi x)$ không khả tích, nên xấp xỉ nó: với $\epsilon>0$ đặt $k_\epsilon(x) = \frac{1}{\pi}\frac{x}{x^2+\epsilon^2}$, một xấp xỉ lẻ, khả tích hội tụ về hạt nhân giá trị chính khi $\epsilon\to 0$. Một tính toán trực tiếp (contour hoặc tra bảng) cho $\hat k_\epsilon(\xi) = -i\,\operatorname{sgn}(\xi)\, e^{-2\pi\epsilon|\xi|}$.

Bước 2 (qua giới hạn). Khi $\epsilon \to 0^+$, $e^{-2\pi\epsilon|\xi|} \to 1$ với mọi $\xi \ne 0$ cố định, và $k_\epsilon * f \to Hf$ với $f$ 'tốt'. Chuyển giới hạn vào trong định lý tích chập cho đẳng thức nhân tử $\widehat{Hf}(\xi) = -i\,\operatorname{sgn}(\xi)\, \hat f(\xi)$: biến đổi Hilbert tác động về phía tần số bằng cách nhân với $-i\,\operatorname{sgn}(\xi)$.

Bước 3 (áp dụng Plancherel). Vì $|-i\,\operatorname{sgn}(\xi)| = 1$ với mọi $\xi \ne 0$ (một điểm có độ đo không nên không ảnh hưởng tích phân), $|\widehat{Hf}(\xi)|^2 = |\hat f(\xi)|^2$ hầu khắp nơi theo $\xi$. Lấy tích phân và dùng định lý Plancherel ở cả hai vế cho $\|Hf\|_{L^2} = \|f\|_{L^2}$: biến đổi Hilbert là một phép đẳng cự trên $L^2(\mathbb{R})$, đặc biệt bị chặn.

Định lý duy nhất này giải thích vì sao các tích phân kỳ dị — dù hạt nhân của chúng không khả tích tuyệt đối — vẫn hoạt động như các toán tử bị chặn thông thường trên hầu hết mọi không gian $L^p$: thiệt hại duy nhất là điểm mút $p=1$, nơi tính bị chặn suy yếu từ kiểu mạnh xuống chỉ còn kiểu yếu.

Bước 1 (phân tích Calderón–Zygmund). Cố định $f \in L^1$ và $\lambda>0$. Dùng lập luận dừng thời gian trên các hình lập phương nhị phân (tương đương, hàm cực đại Hardy–Littlewood $Mf$), tách $f = g + b$ trong đó phần 'tốt' thỏa $\|g\|_\infty \le C\lambda$ và $\|g\|_1 \le \|f\|_1$, còn phần 'xấu' $b = \sum_j b_j$ là tổng các mảnh có giá trên các hình lập phương nhị phân rời nhau đôi một $Q_j$ với trung bình bằng không, $\int_{Q_j} b_j = 0$, và tổng độ đo $\sum_j |Q_j| \le \frac{C}{\lambda}\|f\|_1$ (đây chính xác là chặn yếu-(1,1) cho $M$ áp dụng cho các hình lập phương dừng).

Bước 2 (phần tốt). Vì $T$ bị chặn trên $L^2$ và $\|g\|_2^2 \le \|g\|_\infty \|g\|_1 \le C\lambda\|f\|_1$, bất đẳng thức Chebyshev cho $|\{|Tg| > \lambda/2\}| \le \frac{4}{\lambda^2}\|Tg\|_2^2 \le \frac{C}{\lambda}\|f\|_1$: riêng phần tốt đã thỏa chặn yếu-(1,1).

Bước 3 (phần xấu, ngoài các hình lập phương nhân đôi). Gọi $Q_j^*$ là hình lập phương cùng tâm với $Q_j$ và độ dài cạnh gấp đôi; hợp $\bigcup_j Q_j^*$ cũng có độ đo tối đa $\frac{C}{\lambda}\|f\|_1$. Ngoài $Q_j^*$, điều kiện trung bình bằng không của $b_j$ cho phép trừ một hằng số khỏi hạt nhân: $Tb_j(x) = \int_{Q_j} \big(K(x-y)-K(x-c_j)\big) b_j(y)\,dy$ với tâm $c_j$ của $Q_j$, và chặn độ trơn Hörmander $|K(x)| \le \dfrac{C}{|x|^n}, \qquad |\nabla K(x)| \le \dfrac{C}{|x|^{n+1}}$ cho thấy hiệu này đủ nhỏ để $\int_{(Q_j^*)^c} |Tb_j(x)|\,dx \le C\|b_j\|_1$.

Bước 4 (gộp lại). Cộng Bước 3 theo $j$ và áp dụng Chebyshev ngoài các hình lập phương nhân đôi cho $\big|\{x \notin \bigcup_j Q_j^* : |Tb(x)|>\lambda/2\}\big| \le \frac{C}{\lambda}\sum_j \|b_j\|_1 \le \frac{C}{\lambda}\|f\|_1$. Cộng thêm độ đo của $\bigcup_j Q_j^*$ từ Bước 1, phần xấu cũng đóng góp $O(\|f\|_1/\lambda)$ vào tập mức, và kết hợp với Bước 2 cho phần tốt cho ra ước lượng đầy đủ $\big|\{x : |Tf(x)| > \lambda\}\big| \le \dfrac{C}{\lambda}\|f\|_{L^1}$.