判別式形式 $\Delta$ は本質的に一意である

まず正則性と重さについて:$E_4,E_6$ はそれぞれ重さ $4,6$ のモジュラー形式である(アイゼンシュタイン級数に関する標準的事実として、ここでは既知の入力として扱う)ので、$E_4^3$ と $E_6^2$ はともに重さ $12$ である。両者とも(正規化により)定数項 $1$ から始まるフーリエ展開を持つため、$E_4^3-E_6^2$ は定数項が消える:これは重さ $12$ の尖点形式であり、$\Delta=(E_4^3-E_6^2)/1728$ も同様で、特に $\operatorname{ord}_\infty(\Delta)\ge1$ である。

ここで上で証明した位数公式を $k=12$ で適用する:$\Delta$ の重み付き零点位数の総和は $12/12=1$ に等しくなければならない。左辺のすべての項——$\operatorname{ord}_\infty(\Delta)$、$\tfrac12\operatorname{ord}_i(\Delta)$、$\tfrac13\operatorname{ord}_\rho(\Delta)$、および他の点における任意の $\operatorname{ord}_P(\Delta)$——は非負の実数であり、すでに $\operatorname{ord}_\infty(\Delta)\ge1$ を知っている。非負の項の和が、そのうち一つがすでに $\ge1$ であるにもかかわらずちょうど $1$ になり得る唯一の方法は、その項がちょうど $1$ に等しく、他のすべての項がちょうど $0$ であることである。よって $\operatorname{ord}_\infty(\Delta)=1$ が正確に成り立ち、すべての $P\in\mathbb{H}$ について $\operatorname{ord}_P(\Delta)=0$:$\Delta$ は $\mathbb{H}$ 上で決して消えず、尖点においてのみ単純零点を持つ。

次元の主張について:$g$ を任意の重さ $12$ の尖点形式とする。商 $g/\Delta$ は $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 不変(重さ $12-12=0$)であり、$\Delta$ がそこで決して消えないため $\mathbb{H}$ 上で正則である。尖点においては、$g$ も $\Delta$ も $q$ について少なくとも位数 $1$ で消え、$\Delta$ の位数がちょうど $1$ であるため、商は $q=0$ でも正則に(極を持たずに)拡張される。$\mathbb{H}$ 全体と尖点で正則な重さ $0$ のモジュラー関数は、コンパクトなリーマン面 $X(1)\cong\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ 上の正則関数に降り、(コンパクト化に拡張された)リウヴィルの定理により定数でなければならない。よって $g=c\cdot\Delta$(定数 $c$)であり:重さ $12$ の尖点形式の空間はちょうど $1$ 次元である。重さ $4$ での同一の議論(総予算 $4/12=1/3$ は、$\operatorname{ord}_\rho=1$ かつ他のすべての位数を $0$ とする場合にのみ実現できる。なぜなら、非零の $\operatorname{ord}_\infty$ のような整数の寄与はすでに $1/3$ を超えてしまうからである)により、任意の非零重さ $4$ 形式は $\rho$ にちょうど位数 $1$ の唯一の零点を持ち他にはないことが示され、同じ $E_4$ による商のトリックが $\dim M_4(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}))=1$ を強制する。

最後に、$q$-積 $\Delta(\tau)=q\prod_{n\ge1}(1-q^n)^{24}$ はヤコビが発見した古典的な恒等式であり、ここでは再導出せず引用するのみとするが、これがちょうど証明したことと完全に整合していることに注意する:右辺は $q=0$ でちょうど位数 $1$ で消えることが明らかであり、$0<|q|<1$ で(非零因子の収束積として)明らかに非零である。これは上記の位数公式が強制する零点位数のプロファイルと一致している。