Dạng discriminant $\Delta$ về cơ bản là duy nhất

Trước tiên, tính chỉnh hình và trọng số: $E_4,E_6$ là dạng modular trọng số $4,6$ tương ứng (sự kiện chuẩn về chuỗi Eisenstein, được coi là đầu vào đã biết ở đây), nên $E_4^3$ và $E_6^2$ đều trọng số $12$. Cả hai có khai triển Fourier bắt đầu bằng hệ số hằng $1$ (do chuẩn hóa), nên $E_4^3-E_6^2$ có hệ số hằng triệt tiêu: đó là dạng đỉnh trọng số $12$, và $\Delta=(E_4^3-E_6^2)/1728$ cũng vậy, đặc biệt $\operatorname{ord}_\infty(\Delta)\ge1$.

Bây giờ áp dụng công thức valence (đã chứng minh ở trên) với $k=12$: tổng bậc không điểm có trọng số của $\Delta$ phải bằng $12/12=1$. Mọi số hạng vế trái — $\operatorname{ord}_\infty(\Delta)$, $\tfrac12\operatorname{ord}_i(\Delta)$, $\tfrac13\operatorname{ord}_\rho(\Delta)$, và bất kỳ $\operatorname{ord}_P(\Delta)$ nào khác — đều không âm, và ta đã biết $\operatorname{ord}_\infty(\Delta)\ge1$. Cách duy nhất để tổng các số hạng không âm, trong đó một số hạng đã $\ge1$, bằng đúng $1$, là số hạng đó bằng đúng $1$ và mọi số hạng khác bằng đúng $0$. Vậy $\operatorname{ord}_\infty(\Delta)=1$ chính xác, và $\operatorname{ord}_P(\Delta)=0$ với mọi $P\in\mathbb{H}$: $\Delta$ không triệt tiêu trên $\mathbb{H}$, chỉ có không điểm đơn tại đỉnh.

Về khẳng định chiều: cho $g$ là dạng đỉnh trọng số $12$ bất kỳ. Thương $g/\Delta$ bất biến dưới $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ (trọng số $12-12=0$), và chỉnh hình trên $\mathbb{H}$ vì $\Delta$ không bao giờ triệt tiêu ở đó. Tại đỉnh, cả $g$ và $\Delta$ triệt tiêu bậc ít nhất $1$ theo $q$, và vì bậc của $\Delta$ ở đó đúng bằng $1$, thương cũng mở rộng chỉnh hình (không cực) tới $q=0$. Một hàm modular trọng số $0$ chỉnh hình khắp nơi trên $\mathbb{H}$ và tại đỉnh hạ xuống thành hàm chỉnh hình trên mặt Riemann compact $X(1)\cong\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$, theo định lý Liouville (mở rộng lên compact hóa) phải là hằng số. Vậy $g=c\cdot\Delta$ với $c$ là hằng số: không gian dạng đỉnh trọng số $12$ có chiều đúng $1$. Lập luận y hệt ở trọng số $4$ (ngân sách tổng $4/12=1/3$, chỉ có thể thực hiện bằng $\operatorname{ord}_\rho=1$ với mọi bậc khác $0$, vì bất kỳ đóng góp nguyên nào — như $\operatorname{ord}_\infty$ khác không — đã vượt quá $1/3$) cho thấy mọi dạng trọng số $4$ khác không có không điểm duy nhất tại $\rho$ với bậc đúng $1$ và không còn nơi nào khác, và cùng thủ thuật chia cho $E_4$ buộc $\dim M_4(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}))=1$.

Cuối cùng, tích $q$: $\Delta(\tau)=q\prod_{n\ge1}(1-q^n)^{24}$ là đẳng thức cổ điển do Jacobi tìm ra; ta trích dẫn ở đây thay vì suy lại từ đầu, nhưng lưu ý nó hoàn toàn nhất quán với điều vừa chứng minh: vế phải rõ ràng triệt tiêu bậc đúng $1$ tại $q=0$ và rõ ràng khác không với $0<|q|<1$ (tích hội tụ của các thừa số khác không), khớp với dáng điệu bậc không điểm mà công thức valence ở trên buộc phải có.