Đối xứng Schwarz–Clairaut của đạo hàm riêng hỗn hợp và tiêu chuẩn Hessian

Với $h, k$ nhỏ khác không, xét sai phân cấp hai $\Delta(h,k) = f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0+h,y_0) - f(x_0,y_0+k) + f(x_0,y_0)$. Áp dụng Định lý giá trị trung bình một biến trước hết cho $g(x) = f(x,y_0+k) - f(x,y_0)$ trên $[x_0, x_0+h]$ rồi cho $f_x$ theo biến $y$ ta được $\Delta(h,k) = hk\,f_{yx}(c_1, d_1)$, trong khi áp dụng theo thứ tự ngược lại cho $\Delta(h,k) = hk\,f_{xy}(c_2, d_2)$ tại các điểm trung gian hội tụ về $(x_0,y_0)$. Cho hai biểu thức bằng nhau và lấy giới hạn $(h,k) \to (0,0)$ theo tính liên tục ta chứng minh được $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0) = \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x_0,y_0)$.

Tại điểm dừng nơi $\nabla f(x_0,y_0) = \mathbf{0}$, công thức Taylor cho $f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0,y_0) = \frac{1}{2}Q(h,k) + o(h^2+k^2)$, với $Q(h,k) = f_{xx}h^2 + 2f_{xy}hk + f_{yy}k^2$. Khi $f_{xx} \ne 0$, tách bình phương đủ viết lại $Q(h,k) = \frac{1}{f_{xx}}\left[(f_{xx}h + f_{xy}k)^2 + Dk^2\right]$ với $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$. Nếu $D > 0$, biểu thức trong ngoặc vuông dương chặt với mọi $(h,k) \ne (0,0)$, nên dấu của $Q(h,k)$ trùng với dấu của $f_{xx}$ (cho cực tiểu chặt khi $f_{xx} > 0$ và cực đại chặt khi $f_{xx} < 0$). Nếu $D < 0$, $Q(h,k)$ nhận cả giá trị dương lẫn âm dọc theo các đường thẳng khác nhau qua gốc, tạo thành điểm yên ngựa.