逐项求导

首先证明逐项求导后的级数具有相同的收敛半径。设 $c_n = n a_n$ 为逐项导数(指标平移后)的系数。由于 $n \to \infty$ 时 $n^{1/n} \to 1$,故 $\limsup_n |n a_n|^{1/n} = \limsup_n |a_n|^{1/n}$,由柯西—阿达马公式,$\sum a_n(x-c)^n$ 与 $\sum n a_n (x-c)^{n-1}$ 具有相同的收敛半径 $R$。

其次,固定任意闭区间 $[c-\rho, c+\rho]$,其中 $\rho < R$。在该区间上,导数级数 $\sum n a_n (x-c)^{n-1}$ 一致收敛,因为(当 $n$ 充分大时)其各项被 $M \rho^{n-1}$ 控制,其中常数来自稍大的半径 $\rho' \in (\rho, R)$,可应用魏尔斯特拉斯 M 判别法。

导数级数在 $[c-\rho, c+\rho]$ 上的一致收敛,连同原级数 $\sum a_n(x-c)^n$ 的逐点收敛,使我们能够应用函数级数逐项求导的标准定理:和函数 $f(x)$ 在 $[c-\rho,c+\rho]$ 上可微,且 $f'(x)$ 在该处等于导数级数之和。由于 $\rho < R$ 是任意的,故此结论在整个 $(c-R,\ c+R)$ 上成立。