Đạo hàm từng số hạng

Trước tiên ta chỉ ra chuỗi đạo hàm có cùng bán kính hội tụ. Đặt $c_n = n a_n$ là hệ số của đạo hàm từng số hạng (dịch chỉ số). Vì $n^{1/n} \to 1$ khi $n \to \infty$, ta có $\limsup_n |n a_n|^{1/n} = \limsup_n |a_n|^{1/n}$, và theo công thức Cauchy–Hadamard, hai chuỗi $\sum a_n(x-c)^n$ và $\sum n a_n (x-c)^{n-1}$ có cùng bán kính hội tụ $R$.

Tiếp theo, cố định một khoảng đóng bất kỳ $[c-\rho, c+\rho]$ với $\rho < R$. Trên khoảng này, chuỗi đạo hàm $\sum n a_n (x-c)^{n-1}$ hội tụ đều, vì các số hạng của nó (với $n$ đủ lớn) bị chặn bởi $M \rho^{n-1}$ với hằng số đến từ một bán kính lớn hơn một chút $\rho' \in (\rho, R)$, và tiêu chuẩn Weierstrass M áp dụng được.

Sự hội tụ đều của chuỗi đạo hàm trên $[c-\rho, c+\rho]$ cùng với sự hội tụ điểm của chuỗi gốc $\sum a_n(x-c)^n$ cho phép ta dùng định lý chuẩn về đạo hàm từng số hạng của chuỗi hàm: tổng $f(x)$ khả vi trên $[c-\rho,c+\rho]$ và $f'(x)$ bằng tổng của chuỗi đạo hàm tại đó. Vì $\rho < R$ là tùy ý nên điều này đúng trên toàn bộ $(c-R,\ c+R)$.