Định lý Darboux

Bước 1 (thiết lập bài toán tuyến tính). Bằng một phép đổi tọa độ tuyến tính, trước hết ta sắp xếp để tại điểm được chọn $p_0$, dạng $\omega$ bằng đúng dạng chuẩn $\omega_0$ tại chính $p_0$, vì mọi dạng song tuyến tính phản đối xứng không suy biến trên $\mathbb{R}^{2n}$ đều có thể đưa về dạng chuẩn nhờ một cơ sở thích hợp.

Bước 2 (nội suy). Định nghĩa họ $\omega_t=(1-t)\omega_0+t\omega$ với $t\in[0,1]$. Vì $\omega_0$ và $\omega$ trùng nhau tại $p_0$ và cả hai đều đóng, không suy biến ở đó, nên $\omega_t$ cũng đóng và, sau khi thu nhỏ lân cận nếu cần, không suy biến với mọi $t$.

Bước 3 (giải phương trình Moser). Vì $\omega$ trừ $\omega_0$ đóng và triệt tiêu tại $p_0$, bổ đề Poincaré cho ra một dạng bậc 1 $\sigma$ với $d\sigma=\omega-\omega_0$. Thủ thuật Moser tìm một trường vector phụ thuộc thời gian $X_t$ thỏa $\iota_{X_t}\omega_t=-\sigma$; vì $\omega_t$ không suy biến nên điều này xác định $X_t$ duy nhất tại mỗi điểm.

Bước 4 (tích phân dòng chảy). Cho $\varphi_t$ là dòng chảy sinh bởi $X_t$. Tính toán trực tiếp bằng công thức Cartan cho $\mathcal{L}_{X_t}\omega_t=d\iota_{X_t}\omega_t+\iota_{X_t}d\omega_t=-d\sigma=-(\omega-\omega_0)$, kết hợp với $\dot\omega_t=\omega-\omega_0$, nên $\frac{d}{dt}(\varphi_t^*\omega_t)=0$: phép kéo lùi $\varphi_t^*\omega_t$ không đổi theo $t$ và bằng $\omega_0$ với mọi $t$.

Bước 5 (kết luận). Đặt $t=1$ ta được $\varphi_1^*\omega=\omega_0$ trên lân cận đã thu nhỏ, nên các tọa độ kéo lùi theo $\varphi_1$ chính là tọa độ Darboux cần tìm.