Hình học symplectic

Đa tạp Riemann có độ cong, một bất biến địa phương phân biệt mặt cầu với mặt phẳng ngay cả trong một lân cận rất nhỏ. Định lý Darboux nói rằng đa tạp symplectic không có dấu vân tay địa phương như vậy: nhìn gần, mọi đa tạp symplectic đều trông giống hệt không gian pha phẳng $\mathbb{R}^{2n}$ với dạng chuẩn của nó. Vì vậy, mọi nội dung thú vị của tô pô symplectic đều mang tính toàn cục.

Bước 1 (thiết lập bài toán tuyến tính). Bằng một phép đổi tọa độ tuyến tính, trước hết ta sắp xếp để tại điểm được chọn $p_0$, dạng $\omega$ bằng đúng dạng chuẩn $\omega_0$ tại chính $p_0$, vì mọi dạng song tuyến tính phản đối xứng không suy biến trên $\mathbb{R}^{2n}$ đều có thể đưa về dạng chuẩn nhờ một cơ sở thích hợp.

Bước 2 (nội suy). Định nghĩa họ $\omega_t=(1-t)\omega_0+t\omega$ với $t\in[0,1]$. Vì $\omega_0$ và $\omega$ trùng nhau tại $p_0$ và cả hai đều đóng, không suy biến ở đó, nên $\omega_t$ cũng đóng và, sau khi thu nhỏ lân cận nếu cần, không suy biến với mọi $t$.

Bước 3 (giải phương trình Moser). Vì $\omega$ trừ $\omega_0$ đóng và triệt tiêu tại $p_0$, bổ đề Poincaré cho ra một dạng bậc 1 $\sigma$ với $d\sigma=\omega-\omega_0$. Thủ thuật Moser tìm một trường vector phụ thuộc thời gian $X_t$ thỏa $\iota_{X_t}\omega_t=-\sigma$; vì $\omega_t$ không suy biến nên điều này xác định $X_t$ duy nhất tại mỗi điểm.

Bước 4 (tích phân dòng chảy). Cho $\varphi_t$ là dòng chảy sinh bởi $X_t$. Tính toán trực tiếp bằng công thức Cartan cho $\mathcal{L}_{X_t}\omega_t=d\iota_{X_t}\omega_t+\iota_{X_t}d\omega_t=-d\sigma=-(\omega-\omega_0)$, kết hợp với $\dot\omega_t=\omega-\omega_0$, nên $\frac{d}{dt}(\varphi_t^*\omega_t)=0$: phép kéo lùi $\varphi_t^*\omega_t$ không đổi theo $t$ và bằng $\omega_0$ với mọi $t$.

Bước 5 (kết luận). Đặt $t=1$ ta được $\varphi_1^*\omega=\omega_0$ trên lân cận đã thu nhỏ, nên các tọa độ kéo lùi theo $\varphi_1$ chính là tọa độ Darboux cần tìm.

Trong cơ học cổ điển, định lý Liouville là lý do toán học khiến một khí gồm các hạt tuân theo phương trình Hamilton không thể tự nén vào một vùng nhỏ hơn của không gian pha: dòng chảy có thể kéo giãn và xoắn vùng đó thành một hình dạng kỳ dị, nhưng thể tích của nó không bao giờ co lại hay tăng lên. Điều này là nền tảng của cơ học thống kê và giải thích tại sao các bộ tích phân số ngây thơ không tôn trọng định luật bảo toàn này có thể tạo ra sự trôi năng lượng giả trong các mô phỏng dài.

Bước 1 (công thức Cartan). Với mọi trường vector $X$ và dạng $\omega$, công thức Cartan cho $\mathcal{L}_X\omega=d(\iota_X\omega)+\iota_X(d\omega)$. Áp dụng với $X$ bằng $X_H$: vì $\omega$ đóng nên $d\omega=0$, và vì $\iota_{X_H}\omega=dH$ theo định nghĩa trường vector Hamilton, ta được $\mathcal{L}_{X_H}\omega=d(dH)+0$.

Bước 2 (bản thân dạng không đổi). Vi phân ngoài thỏa $d\circ d=0$ với mọi hàm, nên $d(dH)=0$. Do đó $\mathcal{L}_{X_H}\omega=0$: dòng chảy Hamilton bảo toàn chính dạng symplectic, không chỉ thể tích của nó.

Bước 3 (chuyển sang lũy thừa cao nhất). Dạng thể tích là $\omega^n=\omega\wedge\cdots\wedge\omega$ (gồm $n$ thừa số). Quy tắc Leibniz cho đạo hàm Lie trên tích ngoài cho $\mathcal{L}_{X_H}(\omega^n)=n\,\omega^{n-1}\wedge\mathcal{L}_{X_H}\omega$, và vì $\mathcal{L}_{X_H}\omega=0$ theo Bước 2, vế phải triệt tiêu: $\mathcal{L}_{X_H}(\omega^n)=0$.

Bước 4 (tích phân theo dòng chảy). Nếu $\phi_t$ là dòng chảy của $X_H$, thì $\mathcal{L}_{X_H}(\omega^n)=0$ chính xác có nghĩa là $\frac{d}{dt}\phi_t^{*}(\omega^n)=0$ với mọi $t$. Vì $\phi_0=\mathrm{id}$ cho $\phi_0^{*}(\omega^n)=\omega^n$, tích phân cho thấy $\phi_t^{*}(\omega^n)=\omega^n$ với mọi $t$, đó chính là định lý Liouville.