Diện tích giữa hai đường là một tích phân xác định

Chia $[a,b]$ thành $n$ đoạn con $[x_{i-1},x_i]$ bề rộng $\Delta x=(b-a)/n$, chọn một điểm mẫu $x_i^*$ trong mỗi đoạn. Dải của miền trên $[x_{i-1},x_i]$ có chiều cao xấp xỉ $|f(x_i^*)-g(x_i^*)|$, nên diện tích của nó xấp xỉ $|f(x_i^*)-g(x_i^*)|\,\Delta x$.

Cộng trên tất cả $n$ dải cho tổng Riemann $\sum_{i=1}^n |f(x_i^*)-g(x_i^*)|\,\Delta x$, xấp xỉ diện tích thực của $R$ theo cách xây dựng.

Khi $n\to\infty$, sai số trong xấp xỉ mỗi dải tiến về $0$ nhờ tính liên tục đều của $f-g$ trên đoạn compact $[a,b]$. Vì $|f-g|$ liên tục, tổng Riemann hội tụ về $\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx$ theo định nghĩa của tích phân Riemann. Vậy $S(R)=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx$.

Khi $f(x)\ge g(x)$ trên toàn $[a,b]$, điều này rút gọn thành $S(R)=\int_a^b[f(x)-g(x)]\,dx$ không cần trị tuyệt đối; khi dấu của $f-g$ đổi tại các điểm bên trong $(a,b)$, việc tách tích phân tại các điểm này và chọn đúng thứ tự trừ trên mỗi đoạn cho phương pháp tính toán thực hành.