Ứng dụng tích phân

Xấp xỉ miền bằng các dải dọc mỏng có bề rộng $\Delta x$; mỗi dải gần như một hình chữ nhật có chiều cao $|f(x)-g(x)|$, và tổng diện tích các hình chữ nhật này chính là một tổng Riemann, hội tụ về tích phân xác định khi các dải co lại.

Chia $[a,b]$ thành $n$ đoạn con $[x_{i-1},x_i]$ bề rộng $\Delta x=(b-a)/n$, chọn một điểm mẫu $x_i^*$ trong mỗi đoạn. Dải của miền trên $[x_{i-1},x_i]$ có chiều cao xấp xỉ $|f(x_i^*)-g(x_i^*)|$, nên diện tích của nó xấp xỉ $|f(x_i^*)-g(x_i^*)|\,\Delta x$.

Cộng trên tất cả $n$ dải cho tổng Riemann $\sum_{i=1}^n |f(x_i^*)-g(x_i^*)|\,\Delta x$, xấp xỉ diện tích thực của $R$ theo cách xây dựng.

Khi $n\to\infty$, sai số trong xấp xỉ mỗi dải tiến về $0$ nhờ tính liên tục đều của $f-g$ trên đoạn compact $[a,b]$. Vì $|f-g|$ liên tục, tổng Riemann hội tụ về $\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx$ theo định nghĩa của tích phân Riemann. Vậy $S(R)=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx$.

Khi $f(x)\ge g(x)$ trên toàn $[a,b]$, điều này rút gọn thành $S(R)=\int_a^b[f(x)-g(x)]\,dx$ không cần trị tuyệt đối; khi dấu của $f-g$ đổi tại các điểm bên trong $(a,b)$, việc tách tích phân tại các điểm này và chọn đúng thứ tự trừ trên mỗi đoạn cho phương pháp tính toán thực hành.

Cắt khối theo mặt phẳng vuông góc trục $x$ tại vị trí $x$ cho một đĩa tròn bán kính $f(x)$ và diện tích $\pi[f(x)]^2$; xếp chồng các đĩa này và lấy tích phân diện tích thiết diện trên $[a,b]$ cho tổng thể tích, cùng lập luận cắt lát dùng cho diện tích nhưng với diện tích một đĩa thay cho chiều cao một dải.

Chia $[a,b]$ thành $n$ đoạn con bề rộng $\Delta x=(b-a)/n$ với các điểm mẫu $x_i^*$. Khối giới hạn trên $[x_{i-1},x_i]$ xấp xỉ một đĩa hình trụ bán kính $f(x_i^*)$ và bề dày $\Delta x$, nên thể tích của nó xấp xỉ $\pi[f(x_i^*)]^2\,\Delta x$.

Cộng các thể tích đĩa này trên tất cả $n$ đoạn con cho tổng Riemann $\sum_{i=1}^n \pi[f(x_i^*)]^2\,\Delta x$, xấp xỉ thể tích thực $V$.

Khi $n\to\infty$, tính liên tục của $f$ trên $[a,b]$ làm sai số xấp xỉ triệt tiêu, và vì $x\mapsto \pi[f(x)]^2$ liên tục, tổng Riemann hội tụ theo định nghĩa về $\pi\int_a^b[f(x)]^2\,dx$. Vậy $V=\pi\int_a^b[f(x)]^2\,dx$.

Để kiểm tra tính nhất quán, lấy $f(x)=\dfrac{r}{h}x$ trên $[0,h]$, khi quay quanh trục $x$ cho đúng một hình nón bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$: $V=\pi\int_0^h \left(\dfrac{r}{h}x\right)^2 dx = \pi\dfrac{r^2}{h^2}\cdot\dfrac{h^3}{3} = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$, đúng bằng công thức thể tích hình nón cổ điển.