Điều kiện khả nghịch qua định thức

($\Rightarrow$) Giả sử $A$ khả nghịch, nên tồn tại ma trận $A^{-1}$ với $AA^{-1}=I$. Áp dụng định lý tính nhân đã chứng minh trên, $\det(A)\det(A^{-1})=\det(AA^{-1})=\det(I)=1$. Vì tích của hai số $\det(A)$ và $\det(A^{-1})$ bằng $1$, không số nào trong chúng có thể bằng $0$ — nên $\det(A)\neq 0$.

($\Leftarrow$), thực hiện cụ thể với $2\times 2$: giả sử $A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$ có $\det(A)=ad-bc\neq 0$. Đặt $\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix}d&-b\\ -c&a\end{pmatrix}$. Nhân trực tiếp, $A\cdot\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d&-b\\ -c&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ad-bc&-ab+ab\\ cd-cd&-cb+ad\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ad-bc&0\\ 0&ad-bc\end{pmatrix}=\det(A)\,I$, đúng là đẳng thức $A\cdot\operatorname{adj}(A)=\det(A)\,I$. Cùng phép tính theo thứ tự ngược lại cũng cho $\operatorname{adj}(A)\cdot A=\det(A)\,I$.

Vì $\det(A)\neq 0$, chia cả hai vế của $A\cdot\operatorname{adj}(A)=\det(A)I$ cho số vô hướng $\det(A)$ ta được $A\cdot\dfrac{\operatorname{adj}(A)}{\det(A)}=I$, và tương tự theo thứ tự ngược lại $\dfrac{\operatorname{adj}(A)}{\det(A)}\cdot A=I$. Điều này cho một nghịch đảo hai phía tường minh $A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)$, nên $A$ khả nghịch.

Với $n$ tổng quát (minh họa ở $n=3$), lập luận tương tự vẫn đúng vì khai triển Laplace theo phần bù đại số cho $\sum_j a_{ij}C_{ij}=\det(A)$ (khai triển theo dòng $i$) còn $\sum_j a_{ij}C_{kj}=0$ với $i\neq k$ (tổng này là khai triển phần bù đại số của một ma trận có dòng $i$ được chép vào dòng $k$, tức có hai dòng bằng nhau nên định thức bằng $0$ theo bảng trên). Ghép các đẳng thức theo từng dòng này lại thành dạng ma trận cho đúng $A\cdot\operatorname{adj}(A)=\det(A)I$ với mọi cỡ $n$, nên bất cứ khi nào $\det(A)\neq 0$, lập luận chia như ở trường hợp $2\times 2$ cho ra $A^{-1}=\operatorname{adj}(A)/\det(A)$; ngược lại, nếu $\det(A)=0$, phần phản đảo của đoạn đầu loại hẳn khả năng khả nghịch, vì $\det(A)\det(A^{-1})=1$ sẽ buộc $\det(A)\neq 0$. Điều này chứng minh điều kiện theo cả hai chiều.