Ma trận và định thức

Vì định thức đo mức mà một ánh xạ tuyến tính làm co giãn thể tích, việc áp dụng ánh xạ $B$ trước rồi ánh xạ $A$ sau lẽ ra phải làm thể tích co giãn theo hệ số của $B$ rồi theo hệ số của $A$, tức là theo tích hai hệ số đó — tính nhân chính là phát biểu đại số cho việc hợp hai ánh xạ tuyến tính thì hợp luôn cả hai hệ số co giãn thể tích của chúng.

Trước hết, nhắc lại ảnh hưởng của ba phép biến đổi dòng cơ bản lên định thức (được thiết lập trực tiếp từ tổng Leibniz $\det(A)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}$, vì mỗi số hạng của tổng đó là tuyến tính theo từng dòng riêng biệt): đổi chỗ hai dòng nhân $\det$ với $-1$, nhân một dòng với $k$ nhân $\det$ với $k$, và cộng một bội của một dòng vào dòng khác thì $\det$ không đổi.

Mỗi phép biến đổi dòng cơ bản trên $A$ giống như nhân $A$ ở bên trái với một ma trận cơ bản $E$ tương ứng (thu được bằng cách áp dụng đúng phép biến đổi đó lên ma trận đơn vị $I$). So sánh với đoạn trên, $\det(E)$ chính bằng hệ số co giãn của phép biến đổi đó ($-1$, $k$, hoặc $1$ tương ứng), nên với mọi ma trận cơ bản $E$, $\det(EA)=\det(E)\det(A)$.

Trường hợp $A$ khả nghịch: phép khử Gauss đưa mọi ma trận khả nghịch về ma trận đơn vị bằng một dãy hữu hạn các phép biến đổi dòng cơ bản, nghĩa là $E_m\cdots E_1A=I$ với các ma trận cơ bản $E_1,\dots,E_m$, nên $A=E_1^{-1}\cdots E_m^{-1}$, tức chính nó là tích các ma trận cơ bản (nghịch đảo của một ma trận cơ bản cũng là ma trận cơ bản cùng loại). Áp dụng liên tiếp đẳng thức ở đoạn trước, $\det(A)=\det(E_1^{-1})\cdots\det(E_m^{-1})$, và áp dụng lại cho $AB=E_1^{-1}\cdots E_m^{-1}B$ ta được $\det(AB)=\det(E_1^{-1})\cdots\det(E_m^{-1})\det(B)=\det(A)\det(B)$.

Trường hợp $A$ suy biến: khi đó $\det(A)=0$ (một ma trận suy biến không thể đưa hoàn toàn về ma trận đơn vị, và các quy tắc biến đổi dòng trên cho thấy mọi dạng bậc thang đạt được vẫn còn một dòng bằng không, buộc $\det=0$ theo khai triển phần bù đại số theo dòng đó). Suy biến cũng có nghĩa $\operatorname{rank}(A)<n$, và vì $\operatorname{rank}(AB)\leq\operatorname{rank}(A)<n$ với mọi $B$, tích $AB$ cũng suy biến, nên $\det(AB)=0$. Do đó $\det(AB)=0=0\cdot\det(B)=\det(A)\det(B)$, và đẳng thức vẫn đúng trong trường hợp này, hoàn tất chứng minh cho mọi $A$.

Một ánh xạ tuyến tính có thể "hoàn tác" được đúng khi nó không làm không gian sụp xuống một chiều thấp hơn — vì định thức đã đo chính xác câu hỏi "nó có làm thể tích sụp về không", nên tính khả nghịch và $\det\neq 0$ thực ra là cùng một phát biểu nhìn từ hai góc: một góc đại số (có tồn tại ma trận nghịch đảo hay không), một góc hình học (hệ số co giãn thể tích có khác không hay không).

($\Rightarrow$) Giả sử $A$ khả nghịch, nên tồn tại ma trận $A^{-1}$ với $AA^{-1}=I$. Áp dụng định lý tính nhân đã chứng minh trên, $\det(A)\det(A^{-1})=\det(AA^{-1})=\det(I)=1$. Vì tích của hai số $\det(A)$ và $\det(A^{-1})$ bằng $1$, không số nào trong chúng có thể bằng $0$ — nên $\det(A)\neq 0$.

($\Leftarrow$), thực hiện cụ thể với $2\times 2$: giả sử $A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$ có $\det(A)=ad-bc\neq 0$. Đặt $\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix}d&-b\\ -c&a\end{pmatrix}$. Nhân trực tiếp, $A\cdot\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d&-b\\ -c&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ad-bc&-ab+ab\\ cd-cd&-cb+ad\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ad-bc&0\\ 0&ad-bc\end{pmatrix}=\det(A)\,I$, đúng là đẳng thức $A\cdot\operatorname{adj}(A)=\det(A)\,I$. Cùng phép tính theo thứ tự ngược lại cũng cho $\operatorname{adj}(A)\cdot A=\det(A)\,I$.

Vì $\det(A)\neq 0$, chia cả hai vế của $A\cdot\operatorname{adj}(A)=\det(A)I$ cho số vô hướng $\det(A)$ ta được $A\cdot\dfrac{\operatorname{adj}(A)}{\det(A)}=I$, và tương tự theo thứ tự ngược lại $\dfrac{\operatorname{adj}(A)}{\det(A)}\cdot A=I$. Điều này cho một nghịch đảo hai phía tường minh $A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)$, nên $A$ khả nghịch.

Với $n$ tổng quát (minh họa ở $n=3$), lập luận tương tự vẫn đúng vì khai triển Laplace theo phần bù đại số cho $\sum_j a_{ij}C_{ij}=\det(A)$ (khai triển theo dòng $i$) còn $\sum_j a_{ij}C_{kj}=0$ với $i\neq k$ (tổng này là khai triển phần bù đại số của một ma trận có dòng $i$ được chép vào dòng $k$, tức có hai dòng bằng nhau nên định thức bằng $0$ theo bảng trên). Ghép các đẳng thức theo từng dòng này lại thành dạng ma trận cho đúng $A\cdot\operatorname{adj}(A)=\det(A)I$ với mọi cỡ $n$, nên bất cứ khi nào $\det(A)\neq 0$, lập luận chia như ở trường hợp $2\times 2$ cho ra $A^{-1}=\operatorname{adj}(A)/\det(A)$; ngược lại, nếu $\det(A)=0$, phần phản đảo của đoạn đầu loại hẳn khả năng khả nghịch, vì $\det(A)\det(A^{-1})=1$ sẽ buộc $\det(A)\neq 0$. Điều này chứng minh điều kiện theo cả hai chiều.