Định lý ba đường vuông góc

Cố định một điểm $A$ trên $d$ nằm ngoài $(\alpha)$, gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $(\alpha)$, nghĩa là $AH \perp (\alpha)$; theo định nghĩa hình chiếu vuông góc, $H$ nằm trên $d_1$. Vì $AH$ vuông góc với toàn bộ mặt phẳng $(\alpha)$, nó vuông góc với đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng đó: $AH \perp a$. Đồng thời $d$, $d_1$ và $AH$ cùng nằm trong một mặt phẳng đứng.

($\Rightarrow$) Giả sử $a \perp d$. Khi đó $a$ vuông góc với cả $d$ và $AH$, vốn là hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng đứng nói trên. Theo dấu hiệu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, $a$ vuông góc với cả mặt phẳng đứng đó, do đó vuông góc với $d_1$ nằm trong nó; suy ra $a \perp d_1$.

($\Leftarrow$) Ngược lại, giả sử $a \perp d_1$. Khi đó $a$ vuông góc với cả $d_1$ và $AH$, cũng là hai đường thẳng cắt nhau của cùng mặt phẳng đứng đó. Cùng dấu hiệu trên cho suy ra $a$ vuông góc với mặt phẳng đứng ấy, và vì thế vuông góc với $d$; suy ra $a \perp d$.