Lớp 11

Quan hệ song song, vuông góc

Cách các đường thẳng và mặt phẳng liên hệ trong không gian ba chiều: song song, cắt nhau hoặc vuông góc.

Trực giácMột căn phòng đầy các đường song song và vuông góc

Nhìn quanh một căn phòng: bức tường gặp sàn nhà theo một đường thẳng, hai bức tường đối diện dù kéo dài mãi cũng không bao giờ gặp nhau, còn một sợi dây dọi treo từ trần nhà luôn rơi thẳng xuống, vuông góc với sàn. Hình học không gian đặt tên chính xác cho các quan hệ quen thuộc này giữa đường thẳng và mặt phẳng: song song (không bao giờ gặp nhau, cùng "hướng"), cắt nhau (giao nhau theo một đường thẳng), và vuông góc (gặp nhau tạo góc vuông). Khối lập phương tương tác bên dưới cho thấy cả ba quan hệ cùng một lúc.

Một khối lập phương: hai mặt đối diện nằm trên hai mặt phẳng song song, các cạnh gặp nhau tại một đỉnh thì vuông góc với nhau, còn hai đường chéo trên hai mặt đối diện (ví dụ đường chéo mặt đáy và đường chéo mặt trên đi theo hướng khác) thì chéo nhau: không song song cũng không cắt nhau.

Phổ thôngQuan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa: Đường thẳng song song với mặt phẳng; hai mặt phẳng song song

Đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $(\alpha)$ nếu chúng không có điểm chung. Hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ song song với nhau nếu chúng không có điểm chung (loại trừ trường hợp trùng nhau; chúng phải thực sự tách biệt).

d \parallel a,\quad a \subset (\alpha),\quad d \not\subset (\alpha) \ \implies\ d \parallel (\alpha)

Đây là dấu hiệu chuẩn để nhận biết một đường thẳng song song với một mặt phẳng: nếu $d \parallel a$ với một đường thẳng $a$ đã nằm trong mặt phẳng ( $a \subset (\alpha)$ ), và bản thân $d$ không nằm trong mặt phẳng đó ( $d \not\subset (\alpha)$ ), thì $d \parallel (\alpha)$ . Nói cách khác: để chứng minh một đường thẳng không cắt cả một mặt phẳng, chỉ cần tìm một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó song song với nó.

(\alpha) \parallel (\beta) \iff \exists\, a, b \subset (\alpha),\ a \cap b = \{O\},\ a \parallel (\beta),\ b \parallel (\beta)

Hai mặt phẳng song song với nhau khi và chỉ khi có thể tìm được hai đường thẳng cắt nhau $a, b \subset (\alpha)$ ( $a \cap b = \{O\}$ , do đó chúng không song song với nhau) mà mỗi đường đều song song với mặt phẳng kia ( $a \parallel (\beta)$ và $b \parallel (\beta)$ ). Chỉ một đường thẳng thôi thì chưa đủ — một đường thẳng duy nhất song song với $(\beta)$ vẫn có thể để $(\alpha)$ nghiêng đi và cắt $(\beta)$ ; đường thẳng thứ hai, cắt đường thứ nhất, mới giữ cố định cả mặt phẳng.

Các quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Quan hệ	Điều kiện xác định
Hai đường thẳng song song	Đồng phẳng, không có điểm chung
Hai đường thẳng chéo nhau	Không đồng phẳng (không có mặt phẳng chung)
Đường thẳng song song với mặt phẳng	$d \parallel (\alpha)$ : không có điểm chung, đường thẳng không nằm trong mặt phẳng
Hai mặt phẳng song song	$(\alpha) \parallel (\beta)$ : không có điểm chung
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng	$d \perp (\alpha)$ : vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng

Đại họcVuông góc: định nghĩa chặt chẽ và các định lý

Định nghĩa: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ , kí hiệu $d \perp (\alpha)$ , nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó, chứ không chỉ một hoặc hai đường.

d \perp (\alpha) \iff \forall\, c \subset (\alpha),\ d \perp c

Định lý: Dấu hiệu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Nếu $d \perp a$ và $d \perp b$ với hai đường thẳng cắt nhau $a, b \subset (\alpha)$ và $a \cap b = \{O\}$ , thì $d \perp (\alpha)$ .

Vì sao đúng?

Bạn không cần kiểm tra vô hạn đường thẳng trong mặt phẳng. Giống như hai chiếc đinh đóng vuông góc với sàn nhà theo hai hướng khác nhau từ cùng một điểm là đủ để giữ một cây cột đứng thẳng tuyệt đối, hai phép kiểm tra vuông góc độc lập là đủ để khẳng định vuông góc với cả mặt phẳng.

Chứng minh

Đặt giao điểm $O$ làm gốc, gọi $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là vectơ chỉ phương của $a$ và $b$ . Vì $a$ và $b$ cắt nhau và là hai đường thẳng phân biệt nên $\vec{u}$ và $\vec{v}$ độc lập tuyến tính, do đó chúng sinh ra mọi hướng nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ : vectơ chỉ phương của một đường thẳng bất kì $c \subset (\alpha)$ có thể viết dưới dạng $\vec{w} = \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}$ với các số thực $\lambda, \mu$ nào đó.

Gọi $\vec{n}$ là một vectơ chỉ phương của $d$ . Giả thiết $d \perp a$ và $d \perp b$ tương đương với hai đẳng thức tích vô hướng $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ và $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$ . Với đường thẳng $c$ bất kì trong $(\alpha)$ có phương $\vec{w} = \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}$ , tính tuyến tính của tích vô hướng cho $\vec{n} \cdot \vec{w} = \lambda(\vec{n}\cdot\vec{u}) + \mu(\vec{n}\cdot\vec{v}) = \lambda \cdot 0 + \mu \cdot 0 = 0$ .

Vì tích vô hướng của $\vec{n}$ với phương của một đường thẳng bất kì $c \subset (\alpha)$ bằng không, nên $d$ vuông góc với mọi đường thẳng của $(\alpha)$ , đúng là định nghĩa của $d \perp (\alpha)$ .

Định lý: Định lý ba đường vuông góc

Cho đường thẳng $d$ không nằm trong và không vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ , gọi $d_1$ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $(\alpha)$ đó. Khi đó với mọi đường thẳng $a$ nằm trong $(\alpha)$ : $a \perp d$ khi và chỉ khi $a \perp d_1$ .

Vì sao đúng?

Kiểm tra vuông góc trực tiếp với một đường thẳng nghiêng (xiên) khá bất tiện, nhưng hình chiếu $d_1$ của nó lại nằm phẳng trong mặt phẳng, nơi việc nhận biết và đo góc vuông dễ dàng hơn nhiều. Định lý này khẳng định hai phép kiểm tra luôn cho cùng kết quả, nên ta luôn có thể thay phép kiểm tra khó trong không gian bằng phép kiểm tra dễ trong mặt phẳng.

Chứng minh

Cố định một điểm $A$ trên $d$ nằm ngoài $(\alpha)$ , gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $(\alpha)$ , nghĩa là $AH \perp (\alpha)$ ; theo định nghĩa hình chiếu vuông góc, $H$ nằm trên $d_1$ . Vì $AH$ vuông góc với toàn bộ mặt phẳng $(\alpha)$ , nó vuông góc với đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng đó: $AH \perp a$ . Đồng thời $d$ , $d_1$ và $AH$ cùng nằm trong một mặt phẳng đứng.

( $\Rightarrow$ ) Giả sử $a \perp d$ . Khi đó $a$ vuông góc với cả $d$ và $AH$ , vốn là hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng đứng nói trên. Theo dấu hiệu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, $a$ vuông góc với cả mặt phẳng đứng đó, do đó vuông góc với $d_1$ nằm trong nó; suy ra $a \perp d_1$ .

( $\Leftarrow$ ) Ngược lại, giả sử $a \perp d_1$ . Khi đó $a$ vuông góc với cả $d_1$ và $AH$ , cũng là hai đường thẳng cắt nhau của cùng mặt phẳng đứng đó. Cùng dấu hiệu trên cho suy ra $a$ vuông góc với mặt phẳng đứng ấy, và vì thế vuông góc với $d$ ; suy ra $a \perp d$ .

Định nghĩa: Góc nhị diện và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Khi hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ cắt nhau theo giao tuyến $c$ , lấy một điểm $I$ trên $c$ và trong mỗi mặt phẳng kẻ đường thẳng đi qua $I$ vuông góc với $c$ : $p \subset (\alpha)$ với $p \perp c$ , và $q \subset (\beta)$ với $q \perp c$ . Góc $\big((\alpha), (\beta)\big) = (p, q)$ giữa $p$ và $q$ là góc phẳng nhị diện. Với hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ , tồn tại duy nhất đoạn vuông góc chung $MN$ ( $M$ thuộc $a$ , $N$ thuộc $b$ , $MN \perp a$ , $MN \perp b$ ); độ dài $d(a, b) = MN$ của nó là khoảng cách ngắn nhất giữa hai đường thẳng.

d(a, b) = \min_{P \in a,\, Q \in b} PQ = MN,\qquad MN \perp a,\ MN \perp b

Đại họcỨng dụng thực tiễn và Ví dụ minh họa

Mỗi cây cột xây dựng được kiểm tra bằng thước thủy theo hai phương tường vuông góc đều đang dùng dấu hiệu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng; các kĩ sư hàng không chọn "góc nhị diện" hướng lên giữa hai cánh máy bay để khi máy bay nghiêng nó tự lấy lại thăng bằng; còn các kĩ sư robot và xây dựng tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau cho hai đường ống, dây cáp hoặc khâu robot không song song để đảm bảo chúng không va chạm.

Ví dụ: Độ dốc mái (góc nhị diện) nhờ định lý ba đường vuông góc

Một mái nhà vọng cảnh có dạng hình chóp $S.ABCD$ trên nền hình vuông $ABCD$ cạnh $4$ m, với cột đứng $SA = 4$ m vuông góc với mặt nền ( $SA \perp (ABCD)$ ). Tính góc nhị diện mà tấm mái nghiêng $(SBC)$ tạo với mặt nền $ABCD$ dọc theo mép mái $BC$ .

Lời giải

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên hình chiếu vuông góc của cạnh bên nghiêng $SB$ lên mặt nền $ABCD$ là cạnh $AB$ . Trong hình vuông $ABCD$ , mép mái $BC$ vuông góc với $AB$ ( $AB \perp BC$ ). Theo định lý ba đường vuông góc, $BC$ cũng vuông góc với cạnh xiên $SB$ ( $SB \perp BC$ ).

Vì $AB$ (nằm trong mặt nền) và $SB$ (nằm trong tấm mái $(SBC)$ ) đều vuông góc với giao tuyến $BC$ tại cùng một điểm, nên góc nhị diện dọc theo $BC$ chính là góc nhọn $\angle SBA$ của tam giác vuông $\triangle SAB$ (vuông tại $A$ vì $SA$ thẳng đứng). Tính $\tan(\angle SBA) = \frac{SA}{AB} = \frac{4}{4} = 1$ suy ra $\angle SBA$ = $45^\circ$ .

Ví dụ: Khoảng cách an toàn giữa hai dây cáp chéo nhau trong khung lập phương

Trong một khung thép hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh $6$ m, một đường ống thẳng đứng chạy dọc theo cột góc $AA'$ trong khi một dây cáp căng chéo chạy ngang mặt sàn theo đường chéo $BD$ . Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa hai đường thẳng chéo nhau này.

Lời giải

Gọi $O$ là tâm của mặt sàn hình vuông, nơi hai đường chéo của sàn cắt nhau. Trong hình vuông, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và vuông góc với nhau, nên nửa đường chéo $AO$ thỏa mãn $AO \perp BD$ .

Mặt khác, cột góc thẳng đứng thỏa mãn $AA' \perp (ABCD)$ , và vì $AO$ nằm trong mặt phẳng sàn nên ta cũng có $AO \perp AA'$ . Do đó $AO$ vuông góc với cả $AA'$ (tại $A$ ) lẫn $BD$ (tại $O$ ) — nó chính là đoạn vuông góc chung duy nhất của hai đường thẳng chéo nhau. Độ dài của nó bằng nửa đường chéo hình vuông cạnh $6$ m: $AO = \frac{1}{2} AC = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ m.

Để kết luận $d \perp (\alpha)$ từ $d \perp a$ và $d \perp b$ với $a$ , $b$ nằm trong $(\alpha)$ , cần thêm điều kiện gì đối với $a$ và $b$ ?

Trong hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ , $SA \perp (ABCD)$ và $SA = AB = a$ . Góc nhị diện giữa mặt bên $(SBC)$ và mặt đáy $ABCD$ bằng bao nhiêu?

Trong hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $6$ , khoảng cách ngắn nhất giữa cạnh bên $AA'$ và đường chéo đáy $BD$ là bao nhiêu?

Một người thợ mộc kiểm tra một cây cột gỗ dựng đứng bằng thước thủy dọc theo hai đường phấn kẻ trên mặt sàn bê tông phẳng. Hai đường phấn phải được chọn như thế nào để khi đạt cả hai phép kiểm tra thì chắc chắn cây cột vuông góc với mặt sàn?

Tài liệu tham khảo

Euclid; trans. T. L. Heath (1908). Euclid's Elements, Book XI (perpendicularity and parallelism of lines and planes)
Wikipedia contributors (2024). Dihedral angle