Định lý cực đại Hardy–Littlewood

Bước 1 (một phủ bằng các quả cầu tốt). Cố định $\lambda>0$. Với mỗi $x$ sao cho $Mf(x)>\lambda$, theo định nghĩa của cận trên đúng, tồn tại một khoảng $B_x$ có tâm tại $x$ với $\frac{1}{|B_x|}\int_{B_x}|f| > \lambda$. Các quả cầu $\{B_x\}$ này phủ tập $\{Mf>\lambda\}$.

Bước 2 (bổ đề phủ Vitali $5r$). Từ bất kỳ họ quả cầu nào có bán kính bị chặn, luôn có thể trích ra một họ con rời nhau đếm được $\{B_i\}$ sao cho các quả cầu giãn nở gấp $5$ lần $\{5B_i\}$ vẫn phủ hợp của toàn bộ họ ban đầu. Áp dụng điều này cho $\{B_x\}$ để được một họ con rời nhau $\{B_i\}$ với $\{Mf>\lambda\}\subseteq\bigcup_i 5B_i$.

Bước 3 (cộng các mảnh rời nhau). Mỗi $B_i$ thỏa $\lambda|B_i| < \int_{B_i}|f|$ theo cách dựng. Vì các $B_i$ đôi một rời nhau, cộng theo $i$ cho $\lambda\sum_i|B_i| < \sum_i\int_{B_i}|f| \le \int_{\mathbb{R}}|f| = \|f\|_1$, nên $\sum_i|B_i| < \|f\|_1/\lambda$. Cuối cùng $|\{Mf>\lambda\}| \le \sum_i|5B_i| = 5\sum_i|B_i| < \dfrac{5}{\lambda}\|f\|_1$, chính xác là $|\{x : Mf(x) > \lambda\}| \le \frac{5}{\lambda}\|f\|_1$.