Giải tích điều hòa

Lấy trung bình các tổng riêng triệt tiêu chính xác sự dao động khiến $S_N f$ trở nên bất trị: trong khi $D_N$ có các thùy âm dữ dội, trung bình chạy của nó $F_N$ lại là một gò trơn, không âm, chỉ cộng các phần của $f$ với trọng số dương. Vì thế dù $S_N f$ có thể không hội tụ, trung bình chạy của nó luôn ổn định — cùng mẹo dùng để thuần hóa một dãy tổng riêng dao động trong giải tích bằng cách xét trung bình Cesàro của nó thay vào đó.

Bước 1 (hạch Fejér là xấp xỉ đơn vị dương). Lấy trung bình $D_0,\ldots,D_N$ và dùng một đẳng thức lượng giác kiểu viễn vọng cho công thức đóng $F_N(x) = \frac{1}{N+1}\left(\dfrac{\sin\left(\tfrac{N+1}{2}x\right)}{\sin(x/2)}\right)^2 \ge 0$. Vì $F_N = \frac{1}{N+1}\sum_{k=0}^N D_k$ và $\frac{1}{2\pi}\int D_k = 1$ với mọi $k$, nên $\frac{1}{2\pi}\int F_N = 1$; do không âm, $\frac{1}{2\pi}\int |F_N| = 1$ cũng vậy, nên chuẩn $L^1$ không bao giờ nổ.

Bước 2 (khối lượng dồn về $0$). Với $\delta>0$ cố định bất kỳ, trên $\delta \le |x| \le \pi$ mẫu số $\sin(x/2)^2$ bị chặn dưới bởi một hằng số dương, nên $F_N(x) = O(1/N)$ đều ở đó; khối lượng ngoài $[-\delta,\delta]$ tiến về $0$ khi $N\to\infty$.

Bước 3 (ước lượng xấp xỉ đơn vị). Viết $\sigma_N f(x) - f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} F_N(y)\big(f(x-y)-f(x)\big)\,dy$ dùng $\frac{1}{2\pi}\int F_N = 1$. Chia tích phân thành $|y|<\delta$ và $\delta\le|y|\le\pi$. Trên phần đầu, tính liên tục đều của $f$ cho $|f(x-y)-f(x)|<\varepsilon$ khi $\delta$ nhỏ, và $F_N\ge0$ với tổng khối lượng $1$ chặn phần đó bởi $\varepsilon$. Trên phần sau, $F_N=O(1/N)$ và $f$ bị chặn, nên phần đó $\to 0$ khi $N\to\infty$. Cả hai chặn đều đều theo $x$, nên $\sigma_N f\to f$ đều.

Với ví dụ năm 1926 của Kolmogorov về một hàm $L^1$ phân kỳ khắp nơi, có vẻ hoàn toàn hợp lý khi nghĩ rằng $L^2$ — một điều kiện chỉ mạnh hơn chút ít — cũng sẽ thất bại theo cách tương tự, hoặc ít nhất là hầu khắp nơi. Định lý Carleson là một bất ngờ thực sự: giả thiết bình phương khả tích nhỏ bé đó loại trừ hoàn toàn sự phân kỳ, trừ trên một tập đo được bằng không. Nó khép lại một bài toán đã mở từ khi Luzin đặt giả thuyết năm 1913, và được xem là một trong những định lý sâu sắc nhất của giải tích thế kỷ 20.

Chứng minh đầy đủ là một trong những lập luận khó nhất của giải tích thế kỷ 20; Fefferman đưa ra một sự đơn giản hóa nổi tiếng năm 1973, có thể phác họa chiến lược qua ba bước.

Bước 1 (kiểm soát bằng toán tử cực đại). Chỉ cần chặn toán tử cực đại Carleson $S^*f(x) = \sup_N |S_N f(x)|$ trên $L^2$, vì một chặn kiểu yếu trên $S^*$ cùng tính trù mật của các hàm tốt (mà với chúng hội tụ là dễ) sẽ suy ra phát biểu hội tụ hầu khắp nơi đầy đủ.

Bước 2 (phân rã thời gian–tần số thành các ô). Phân rã $f$ bằng các gói sóng thích ứng với các ô nhị phân trên mặt phẳng thời gian–tần số — các hình chữ nhật có diện tích $\sim 1$, chính là các nguyên tử được bàn ở mục 'Thời gian và tần số' bên dưới. Mỗi ô mang một phần của $f$ khu trú cả về một khoảng thời gian lẫn một dải tần số.

Bước 3 (sắp xếp các ô thành cây và cộng lại). Vì tần số cắt $N$ có thể thay đổi theo $x$, các ô liên quan đến $S^*f(x)$ tạo thành các 'cây' được sắp theo quan hệ chứa thời gian–tần số. Ước lượng tổ hợp then chốt của Fefferman chặn tổng năng lượng mang bởi mọi cây, kiểm soát $S^*f$ trong $L^2$ và hoàn tất chứng minh.

Về mặt vật lý, $\int |f|^2$ là năng lượng của tín hiệu (hãy nghĩ: công suất tiêu tán bởi một dạng sóng điện áp). Plancherel nói rằng bạn có thể tính năng lượng đó bằng cách quét tín hiệu theo thời gian hoặc quét phổ của nó theo tần số — một máy phân tích phổ và một máy hiện sóng phải cho cùng tổng công suất.

Bước 1 (một trường hợp đặc biệt). Trước tiên kiểm tra đẳng thức cho hàm Gauss $f(x) = e^{-\pi x^2}$. Tính toán trực tiếp (bằng cách hoàn thành bình phương trong số mũ) cho ra $\hat f(\xi) = e^{-\pi \xi^2}$, nên cả hai vế của $\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} |\hat f(\xi)|^2\,d\xi$ đều bằng cùng một tích phân Gauss $\int e^{-2\pi x^2}\,dx$.

Bước 2 (mở rộng bằng tuyến tính và định lý tích chập). Với các hàm 'tốt' (hàm Schwartz) $f$, đặt $g = f * \tilde f$ với $\tilde f(x) = \overline{f(-x)}$; khi đó $g(0) = \int |f(x)|^2\,dx$, và theo định lý tích chập $\widehat{f * g} = \hat f \cdot \hat g$ cùng công thức nghịch đảo Fourier, $g(0) = \int \hat g(\xi)\,d\xi = \int |\hat f(\xi)|^2\,d\xi$. Điều này chứng minh đẳng thức cho mọi hàm Schwartz, bao gồm cả hàm Gauss và mọi hàm trơn giảm nhanh.

Bước 3 (lập luận trù mật). Các hàm Schwartz trù mật trong $L^2(\mathbb{R})$: mọi $f \in L^2$ đều là giới hạn $f_n \to f$ của các hàm Schwartz theo chuẩn $L^2$. Vì biến đổi Fourier là một phép đẳng cự trên không gian con trù mật này theo Bước 2, nó mở rộng duy nhất thành một toán tử bị chặn trên toàn bộ $L^2(\mathbb{R})$ vẫn thỏa mãn $\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} |\hat f(\xi)|^2\,d\xi$ — phần mở rộng này chính là ý nghĩa của 'biến đổi Fourier của một hàm $L^2$' khi tích phân định nghĩa $\hat f(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, e^{-2\pi i x \xi}\,dx$ có thể không hội tụ tuyệt đối.

Đây là cầu nối giữa việc lấy mẫu tín hiệu tại các điểm nguyên và tuần hoàn hóa phổ của nó: vế trái là kết quả khi cộng các mẫu $f(n)$, vế phải là kết quả từ phổ. Đẳng thức duy nhất này là nền tảng của định lý lấy mẫu, tổng trên mạng tinh thể học, và phương trình hàm của hàm theta và hàm zeta Riemann.

Bước 1 (tuần hoàn hóa). Với hàm Schwartz $f$, đặt $F(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(x+n)$. Do $f$ giảm nhanh nên tổng này hội tụ tuyệt đối và đều, và $F$ là hàm trơn có chu kỳ 1, nên nó có chuỗi Fourier riêng trên đường tròn.

Bước 2 (tính các hệ số Fourier của hàm tuần hoàn hóa). Hệ số Fourier thứ $k$ của $F$ là $c_k = \int_0^1 F(x) e^{-2\pi i k x}\,dx = \sum_{n} \int_0^1 f(x+n) e^{-2\pi i k x}\,dx$. Đổi biến $y = x+n$ trong mỗi số hạng và dùng tính tuần hoàn của $e^{-2\pi i k x}$ theo $n$ sẽ ghép các mảnh lại thành một tích phân duy nhất trên toàn $\mathbb{R}$: $c_k = \int_{-\infty}^{\infty} f(y) e^{-2\pi i k y}\,dy = \hat f(k)$.

Bước 3 (tính tại x=0). Vì $F$ trơn nên chuỗi Fourier của nó hội tụ điểm về chính nó, đặc biệt tại $x=0$: $F(0) = \sum_k c_k e^{0}$, tức là $\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \hat f(k)$. Vế trái đúng bằng $F(0) = \sum_n f(n)$ theo định nghĩa, hoàn tất chứng minh.

Trường hợp $L^2$ về cơ bản là miễn phí: hệ số nhân $-i\,\mathrm{sgn}(\xi)$ có mô-đun đúng bằng $1$ hầu khắp nơi, nên $H$ đúng nghĩa là một phép đẳng cự trên $L^2$ theo Plancherel — một phép quay pha $90^\circ$ của mọi tần số không làm thay đổi gì về tổng năng lượng. Nhưng mở rộng tính bị chặn sang các $p$ khác là một bài toán thực sự khác và khó hơn nhiều: không có tương tự nào của đẳng thức Parseval bên ngoài $L^2$, nên không có lối tắt đại số nào khả dụng, và chứng minh phải dựa vào các ước lượng biến thực về kích thước và hình học của tập nơi $Hf$ lớn.

Bước 1 ($L^2$, trực tiếp). Theo Plancherel và công thức hệ số nhân, $\|Hf\|_{L^2}^2 = \int |\widehat{Hf}(\xi)|^2\,d\xi = \int |\mathrm{sgn}(\xi)|^2|\hat f(\xi)|^2\,d\xi = \|f\|_{L^2}^2$, dùng $|\mathrm{sgn}(\xi)|=1$ với $\xi\ne0$ (một điểm đơn lẻ không ảnh hưởng tới tích phân). Vậy $H$ là một phép đẳng cự trên $L^2(\mathbb{R})$, đặc biệt bị chặn với $C_2=1$.

Bước 2 (mọi $1<p<\infty$, tham chiếu chuyển tiếp). Toàn bộ dải số mũ không suy ra từ Bước 1 bằng bất kỳ lập luận mềm nào. Đó là một định lý thực sự của lý thuyết Calderón–Zygmund biến thực: hạch $1/(\pi x)$ của biến đổi Hilbert thỏa mãn chính xác các điều kiện trơn và triệt tiêu của một hạch Calderón–Zygmund, nên bộ máy tích phân kỳ dị tổng quát trình bày ở mục sau áp dụng được cho nó. Bộ máy đó sinh ra một chặn kiểu yếu $(1,1)$ từ chặn $L^2$ đã chứng minh ở Bước 1, và nội suy Marcinkiewicz giữa chặn yếu-$(1,1)$ với chặn $L^2$ (rồi một lập luận đối ngẫu cho $p>2$) hoàn tất chứng minh cho mọi $1<p<\infty$ — nửa lập luận này được thực hiện đầy đủ ở mục Calderón–Zygmund ngay bên dưới, thay vì lặp lại ở đây.

$Mf(x)$ chặn, trong một lần duy nhất, mọi trung bình của $f$ có thể lấy trên một khoảng quanh $x$ — trung bình chạy ở mọi thang đo có thể. Kiểm soát đại lượng duy nhất đó hóa ra chính xác là điều cần để chứng minh định lý vi phân Lebesgue (trung bình của $f$ trên các khoảng co lại quanh $x$ hội tụ về $f(x)$ với hầu hết $x$): một khi biết $Mf$ hữu hạn hầu khắp nơi, một lập luận mềm ngắn gọn nâng cấp điều đó thành phát biểu vi phân đầy đủ. Đây là động cơ biến thực đứng sau lý thuyết Calderón–Zygmund bên dưới, đóng vai trò mà đẳng thức Plancherel đã đóng cho ước lượng $L^2$ dễ dàng.

Bước 1 (một phủ bằng các quả cầu tốt). Cố định $\lambda>0$. Với mỗi $x$ sao cho $Mf(x)>\lambda$, theo định nghĩa của cận trên đúng, tồn tại một khoảng $B_x$ có tâm tại $x$ với $\frac{1}{|B_x|}\int_{B_x}|f| > \lambda$. Các quả cầu $\{B_x\}$ này phủ tập $\{Mf>\lambda\}$.

Bước 2 (bổ đề phủ Vitali $5r$). Từ bất kỳ họ quả cầu nào có bán kính bị chặn, luôn có thể trích ra một họ con rời nhau đếm được $\{B_i\}$ sao cho các quả cầu giãn nở gấp $5$ lần $\{5B_i\}$ vẫn phủ hợp của toàn bộ họ ban đầu. Áp dụng điều này cho $\{B_x\}$ để được một họ con rời nhau $\{B_i\}$ với $\{Mf>\lambda\}\subseteq\bigcup_i 5B_i$.

Bước 3 (cộng các mảnh rời nhau). Mỗi $B_i$ thỏa $\lambda|B_i| < \int_{B_i}|f|$ theo cách dựng. Vì các $B_i$ đôi một rời nhau, cộng theo $i$ cho $\lambda\sum_i|B_i| < \sum_i\int_{B_i}|f| \le \int_{\mathbb{R}}|f| = \|f\|_1$, nên $\sum_i|B_i| < \|f\|_1/\lambda$. Cuối cùng $|\{Mf>\lambda\}| \le \sum_i|5B_i| = 5\sum_i|B_i| < \dfrac{5}{\lambda}\|f\|_1$, chính xác là $|\{x : Mf(x) > \lambda\}| \le \frac{5}{\lambda}\|f\|_1$.