Định lý Desargues

Coi hai tam giác nằm trong một mặt phẳng $\pi$ bên trong $\mathbb{R}^3$, và dựng, phía trên $\pi$, một cấu hình không gian: một điểm $\widehat{O}$ không thuộc $\pi$, cùng hai tam giác $\widehat{A}\widehat{B}\widehat{C}$ và $\widehat{A'}\widehat{B'}\widehat{C'}$ nằm trong hai mặt phẳng khác nhau trong không gian, bố trí sao cho các đường thẳng $\widehat{A}\widehat{A'}$, $\widehat{B}\widehat{B'}$, $\widehat{C}\widehat{C'}$ đều đi qua $\widehat{O}$, và sao cho phép chiếu hình không gian này trở lại $\pi$ khôi phục đúng hai tam giác ban đầu $ABC$ và $A'B'C'$ phối cảnh từ $O$.

Trong hình không gian này, đường thẳng $\widehat{B}\widehat{C}$ và đường thẳng $\widehat{B'}\widehat{C'}$ đều nằm trong mặt phẳng sinh bởi $\widehat{O}, \widehat{B}, \widehat{C}$ (vì $\widehat{B'}$ và $\widehat{C'}$ nằm trên các đường thẳng qua $\widehat{O}$ và tương ứng $\widehat{B}, \widehat{C}$), nên hai đường thẳng này cắt nhau tại một điểm $\widehat{P}$; tương tự $\widehat{Q}$ và $\widehat{R}$ tồn tại trong không gian như các giao điểm tương tự cho các cạnh $CA$ và $AB$.

Ba điểm $\widehat{P}, \widehat{Q}, \widehat{R}$ đều nằm trong mặt phẳng chứa tam giác $\widehat{A}\widehat{B}\widehat{C}$, vì mỗi điểm được dựng từ một cặp cạnh của nó, và đồng thời nằm trong mặt phẳng chứa $\widehat{A'}\widehat{B'}\widehat{C'}$. Do đó $\widehat{P}, \widehat{Q}, \widehat{R}$ nằm trên đường thẳng giao của hai mặt phẳng này, vì hai mặt phẳng phân biệt trong không gian luôn cắt nhau theo đúng một đường thẳng.

Chiếu cấu hình không gian này trở lại mặt phẳng $\pi$ biến $\widehat{P}, \widehat{Q}, \widehat{R}$ thành $P, Q, R$ và bảo toàn tính thẳng hàng, vì phép chiếu từ một điểm biến mọi đường thẳng thành đường thẳng. Vậy $P, Q, R$ thẳng hàng trong $\pi$, đúng là định lý Desargues.