Định lý Fejér

Bước 1 (hạch Fejér là xấp xỉ đơn vị dương). Lấy trung bình $D_0,\ldots,D_N$ và dùng một đẳng thức lượng giác kiểu viễn vọng cho công thức đóng $F_N(x) = \frac{1}{N+1}\left(\dfrac{\sin\left(\tfrac{N+1}{2}x\right)}{\sin(x/2)}\right)^2 \ge 0$. Vì $F_N = \frac{1}{N+1}\sum_{k=0}^N D_k$ và $\frac{1}{2\pi}\int D_k = 1$ với mọi $k$, nên $\frac{1}{2\pi}\int F_N = 1$; do không âm, $\frac{1}{2\pi}\int |F_N| = 1$ cũng vậy, nên chuẩn $L^1$ không bao giờ nổ.

Bước 2 (khối lượng dồn về $0$). Với $\delta>0$ cố định bất kỳ, trên $\delta \le |x| \le \pi$ mẫu số $\sin(x/2)^2$ bị chặn dưới bởi một hằng số dương, nên $F_N(x) = O(1/N)$ đều ở đó; khối lượng ngoài $[-\delta,\delta]$ tiến về $0$ khi $N\to\infty$.

Bước 3 (ước lượng xấp xỉ đơn vị). Viết $\sigma_N f(x) - f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} F_N(y)\big(f(x-y)-f(x)\big)\,dy$ dùng $\frac{1}{2\pi}\int F_N = 1$. Chia tích phân thành $|y|<\delta$ và $\delta\le|y|\le\pi$. Trên phần đầu, tính liên tục đều của $f$ cho $|f(x-y)-f(x)|<\varepsilon$ khi $\delta$ nhỏ, và $F_N\ge0$ với tổng khối lượng $1$ chặn phần đó bởi $\varepsilon$. Trên phần sau, $F_N=O(1/N)$ và $f$ bị chặn, nên phần đó $\to 0$ khi $N\to\infty$. Cả hai chặn đều đều theo $x$, nên $\sigma_N f\to f$ đều.