連続体に関するケーニヒの定理

まず一般的なケーニヒの不等式を証明する:添字集合 $I$ 上のすべての $i$ について $\kappa_i < \lambda_i$ ならば、$\sum_{i\in I}\kappa_i < \prod_{i\in I}\lambda_i$ である。$|B_i|=\lambda_i$ となる集合 $B_i$ と、$|A_i|=\kappa_i$ となる部分集合 $A_i \subsetneq B_i$ を固定する。不等式 $\sum_i \kappa_i \le \prod_i \lambda_i$ は容易である(各 $a\in A_i$ を、座標 $i$ では $a$、他の座標では固定の既定値であるようなタプルへ送る)。したがって本質は等しくないことを示すことにある。

背理法で、ある全射 $h : \bigsqcup_{i\in I} A_i \to \prod_{i\in I} B_i$ が存在すると仮定する。各 $i$ について $h_i:A_i\to B_i$、$a \mapsto h(a)(i)$($h(a)$ の第 $i$ 座標)とする。$|A_i|=\kappa_i<\lambda_i=|B_i|$ なので、$h_i$ は $B_i$ への全射になり得ない(もしそうなら、$B_i$ の各元に原像を一つ選ぶことで $B_i$ から $A_i$ への単射が得られ、$\lambda_i\le\kappa_i$ を強制し矛盾する)。そこで各 $i$ について $d_i \in B_i \setminus \operatorname{ran}(h_i)$ を選び、$g(i)=d_i$ であるタプル $g \in \prod_i B_i$ を作る。

$h$ が全射なので、ある $a$(例えば $a \in A_j$)について $g=h(a)$。すると $g(j)=h(a)(j)=h_j(a) \in \operatorname{ran}(h_j)$。しかし構成により $g(j)=d_j \notin \operatorname{ran}(h_j)$——直接の矛盾である。したがって全射 $h$ は存在せず、$\sum_i\kappa_i < \prod_i\lambda_i$ が得られる。($I=X$、$\kappa_i=1$、$\lambda_i=2$ とおけば、特別な場合としてカントールの古典的対角線論法 $|X|<2^{|X|}$ が再現される。)

次に背理法で $\operatorname{cf}(2^{\aleph_0})=\aleph_0$ と仮定する。すると $2^{\aleph_0}$ は真に小さい基数の狭義増加 $\omega$ 列 $\kappa_0<\kappa_1<\kappa_2<\cdots$ の和である、すなわち $2^{\aleph_0}=\sum_{n<\omega}\kappa_n$ かつ $\kappa_n < 2^{\aleph_0}$ がすべての添字で成り立つ。ケーニヒの不等式を、すべての $n$ について $\lambda_n := 2^{\aleph_0}$ を一定として適用する(すべての $n$ で $\kappa_n < 2^{\aleph_0} = \lambda_n$ なので有効):

$$2^{\aleph_0} = \sum_{n<\omega}\kappa_n \;<\; \prod_{n<\omega}\lambda_n = \left(2^{\aleph_0}\right)^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0\cdot\aleph_0} = 2^{\aleph_0}.$$

これは $2^{\aleph_0}<2^{\aleph_0}$ を意味し、不合理である。よって $\operatorname{cf}(2^{\aleph_0})\neq\aleph_0$。共終数はそれより小さくなることは決してない(任意の無限基数について少なくとも $\aleph_0$ であり有限にはなり得ない)ので、$\operatorname{cf}(2^{\aleph_0})>\aleph_0$ と結論できる。$\blacksquare$