Định lý M. Riesz

Bước 1 ($L^2$, trực tiếp). Theo Plancherel và công thức hệ số nhân, $\|Hf\|_{L^2}^2 = \int |\widehat{Hf}(\xi)|^2\,d\xi = \int |\mathrm{sgn}(\xi)|^2|\hat f(\xi)|^2\,d\xi = \|f\|_{L^2}^2$, dùng $|\mathrm{sgn}(\xi)|=1$ với $\xi\ne0$ (một điểm đơn lẻ không ảnh hưởng tới tích phân). Vậy $H$ là một phép đẳng cự trên $L^2(\mathbb{R})$, đặc biệt bị chặn với $C_2=1$.

Bước 2 (mọi $1<p<\infty$, tham chiếu chuyển tiếp). Toàn bộ dải số mũ không suy ra từ Bước 1 bằng bất kỳ lập luận mềm nào. Đó là một định lý thực sự của lý thuyết Calderón–Zygmund biến thực: hạch $1/(\pi x)$ của biến đổi Hilbert thỏa mãn chính xác các điều kiện trơn và triệt tiêu của một hạch Calderón–Zygmund, nên bộ máy tích phân kỳ dị tổng quát trình bày ở mục sau áp dụng được cho nó. Bộ máy đó sinh ra một chặn kiểu yếu $(1,1)$ từ chặn $L^2$ đã chứng minh ở Bước 1, và nội suy Marcinkiewicz giữa chặn yếu-$(1,1)$ với chặn $L^2$ (rồi một lập luận đối ngẫu cho $p>2$) hoàn tất chứng minh cho mọi $1<p<\infty$ — nửa lập luận này được thực hiện đầy đủ ở mục Calderón–Zygmund ngay bên dưới, thay vì lặp lại ở đây.