Định lý Ostrowski (1916)

Phác thảo. Cho $|\cdot|$ là một giá trị tuyệt đối không tầm thường trên $\mathbb{Q}$. Trường hợp 1 (phi Archimedes): nếu $|n| \le 1$ với mọi số nguyên $n$, tập $\mathfrak{p} = \{n \in \mathbb{Z} : |n| < 1\}$ là một ideal nguyên tố của $\mathbb{Z}$ (nó đóng dưới phép cộng nhờ bất đẳng thức ultrametric mà mọi giá trị tuyệt đối với $|n|\le1$ trên $\mathbb{Z}$ tự động thỏa mãn, và đóng dưới phép nhân nhờ tính nguyên tố), do đó $\mathfrak{p} = (p)$ với một số nguyên tố $p$ duy nhất; so sánh $|p|$ với $p^{-1}$ và dùng tính nhân cho thấy $|\cdot|$ tương đương với $|\cdot|_p$. Trường hợp 2 (Archimedes): nếu $|n_0| > 1$ với một số nguyên $n_0$ nào đó, viết mọi số nguyên $n > 1$ theo cơ số $n_0$ và dùng bất đẳng thức tam giác cùng $|n_0^k| = |n_0|^k \to \infty$ để chặn $|n|$ trên và dưới bởi các lũy thừa của chính $n$, buộc $|n| = n^c$ với một hằng số $c \in (0,1]$ không phụ thuộc $n$; điều này khiến $|\cdot|$ tương đương với $|\cdot|_\infty$.