Định lý Plancherel

Bước 1 (một trường hợp đặc biệt). Trước tiên kiểm tra đẳng thức cho hàm Gauss $f(x) = e^{-\pi x^2}$. Tính toán trực tiếp (bằng cách hoàn thành bình phương trong số mũ) cho ra $\hat f(\xi) = e^{-\pi \xi^2}$, nên cả hai vế của $\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} |\hat f(\xi)|^2\,d\xi$ đều bằng cùng một tích phân Gauss $\int e^{-2\pi x^2}\,dx$.

Bước 2 (mở rộng bằng tuyến tính và định lý tích chập). Với các hàm 'tốt' (hàm Schwartz) $f$, đặt $g = f * \tilde f$ với $\tilde f(x) = \overline{f(-x)}$; khi đó $g(0) = \int |f(x)|^2\,dx$, và theo định lý tích chập $\widehat{f * g} = \hat f \cdot \hat g$ cùng công thức nghịch đảo Fourier, $g(0) = \int \hat g(\xi)\,d\xi = \int |\hat f(\xi)|^2\,d\xi$. Điều này chứng minh đẳng thức cho mọi hàm Schwartz, bao gồm cả hàm Gauss và mọi hàm trơn giảm nhanh.

Bước 3 (lập luận trù mật). Các hàm Schwartz trù mật trong $L^2(\mathbb{R})$: mọi $f \in L^2$ đều là giới hạn $f_n \to f$ của các hàm Schwartz theo chuẩn $L^2$. Vì biến đổi Fourier là một phép đẳng cự trên không gian con trù mật này theo Bước 2, nó mở rộng duy nhất thành một toán tử bị chặn trên toàn bộ $L^2(\mathbb{R})$ vẫn thỏa mãn $\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} |\hat f(\xi)|^2\,d\xi$ — phần mở rộng này chính là ý nghĩa của 'biến đổi Fourier của một hàm $L^2$' khi tích phân định nghĩa $\hat f(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, e^{-2\pi i x \xi}\,dx$ có thể không hội tụ tuyệt đối.