Định lý về số chiều

Cho $B_1=\{v_1,\dots,v_m\}$ và $B_2=\{w_1,\dots,w_k\}$ đều là cơ sở của $V$. Vì $B_1$ sinh ra $V$ (nó là một cơ sở) và $B_2$ độc lập tuyến tính (nó là một cơ sở), bổ đề trao đổi đã chứng minh trên áp dụng trực tiếp với $B_1$ đóng vai trò tập sinh và $B_2$ là tập độc lập, cho $k\leq m$.

Đối xứng lại, vì $B_2$ sinh ra $V$ và $B_1$ độc lập tuyến tính, áp dụng bổ đề trao đổi lần nữa với vai trò đổi chỗ — $B_2$ là tập sinh, $B_1$ là tập độc lập — cho $m\leq k$.

Kết hợp hai bất đẳng thức $k\leq m$ và $m\leq k$ buộc $k=m$: hai cơ sở có đúng cùng số vectơ.

Vì lập luận này không đặt ra hạn chế nào về việc cơ sở hữu hạn cụ thể nào $B_1,B_2$ được chọn, mọi cơ sở hữu hạn của $V$ đều có cùng kích thước chung này. Điều này biện minh cho việc định nghĩa $\dim(V)$ là kích thước chung đó — nó là một bất biến của chính không gian $V$, không bao giờ phụ thuộc vào cơ sở nào được dùng để tính nó.