MathLabs

代数学

ベクトル空間

加法とスカラー倍が定義された対象の集合で、線形代数全体の舞台となる。

直観直感:加えることとスカラー倍すること——それだけでよい

平面上の矢印は、先端と末端をつなぐことで加え合わせることができ、数によって伸ばしたり縮めたりすることができる。これだけの構造があれば、驚くほど多くの数学が展開できる——そして驚くべきことに、まさに同じ 2 つの演算、加法とスカラー倍が、多項式(2 つの多項式を加える、多項式を数で掛ける)、同じ大きさの行列、そして関数(2 つの関数を点ごとに加える、関数を定数倍する)にも意味をなす。ベクトル空間とは、平面上の矢印がすでに満たしているのと同じいくつかの妥当な規則に従う、この 2 つの演算を備えた任意の集合である。ある集合がベクトル空間であると認識されれば、「一般のベクトル」に対して一度証明された定理は、矢印、多項式、行列、関数のすべてに直ちに適用できる。

原点を通る平らな平面を示す 3D サーフェスプロット。2 つのベクトルの span を図示している。
2つの列ベクトル v1=(a11,a21)\mathbf{v}_1 = (a_{11}, a_{21}) と v2=(a12,a22)\mathbf{v}_2 = (a_{12}, a_{22}) は共でない(det⁡A≠0\det A \neq 0)限り R2\mathbb{R}^2 の基底をなし、図の座標格子を張る。

中高定義:ベクトル空間の公理

定義: ベクトル空間

R\mathbb{R} 上のベクトル空間とは、加法 u+v∈V\mathbf{u}+\mathbf{v}\in V とスカラー倍 αu∈V\alpha\mathbf{u}\in V(α∈R\alpha\in\mathbb{R})を備えた集合 VV であり、加法が交換的かつ結合的であり、u+0=u\mathbf{u}+\mathbf{0}=\mathbf{u} を満たす零ベクトル 0\mathbf{0} が存在し、すべての u\mathbf{u} に加法逆元 −u-\mathbf{u} が存在し、スカラー倍は実数の乗法と両立し、ベクトル加法とスカラー加法の両方に対して分配的であり、1⋅u=u1\cdot\mathbf{u}=\mathbf{u} を満たすものである。具体的には、2 つの分配法則は α(u+v)=αu+αv,(α+β)u=αu+βu\alpha(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\alpha\mathbf{u}+\alpha\mathbf{v},\quad (\alpha+\beta)\mathbf{u}=\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{u} である。おなじみの例には、Rn\mathbb{R}^n、次数 nn 以下の多項式の空間 PnP_n、行列の空間 Mm×nM_{m\times n}、区間上の連続関数の空間 C[a,b]C[a,b] がある。

α(u+v)=αu+αv,(α+β)u=αu+βu\alpha(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\alpha\mathbf{u}+\alpha\mathbf{v},\quad (\alpha+\beta)\mathbf{u}=\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{u}

これらの分配法則は、ベクトルの和をスカラー倍することは、各ベクトルを別々にスカラー倍してから結果を加えることと同じであり、掛ける前に 2 つのスカラーを加えることは、別々に掛けてから加えることと同じであることを述べている——この 2 つの規則こそが、ベクトルの「線形」な組み合わせをうまく振る舞わせるものであり、ベクトル空間に関するすべての定理は、最終的にはこれらの公理だけから構築される。

定義: 基底と次元

ベクトルの集合 {v1,…,vk}\{v_1,\dots,v_k\} が一次独立であるとは、自明でない組み合わせ c1v1+⋯+ckvkc_1v_1+\cdots+c_kv_k が 0\mathbf{0} に等しくならないことをいう(同値に、集合内のどのベクトルも他のベクトルの組み合わせで表せない)。また、VV を張るとは、VV のすべてのベクトルがそれらの組み合わせで表せること、すなわち span⁡(v1,…,vk)={∑i=1kcivi:ci∈R}\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)=\Big\{\textstyle\sum_{i=1}^k c_iv_i : c_i\in\mathbb{R}\Big\} が VV 全体に等しいことをいう。VV の基底とは、一次独立かつ VV を張る集合である。次元 dim⁡(V)\dim(V) は基底に含まれるベクトルの個数であり——次の定理が示すように、VV のどの基底も同じ大きさを持つからこそ、これは正しく定義される。

span⁡(v1,…,vk)={∑i=1kcivi:ci∈R}\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)=\Big\{\textstyle\sum_{i=1}^k c_iv_i : c_i\in\mathbb{R}\Big\}

例えば、Rn\mathbb{R}^n の標準基底 e1=(1,0,…,0),…,en=(0,…,0,1)e_1=(1,0,\dots,0),\dots,e_n=(0,\dots,0,1) はちょうど nn 個のベクトルを持つので dim⁡(Rn)=n\dim(\mathbb{R}^n)=n である。また 1,x,x2,…,xn1,x,x^2,\dots,x^n は n+1n+1 個のベクトルを持つ PnP_n の基底であり、dim⁡(Pn)=n+1\dim(P_n)=n+1 である。

おなじみのベクトル空間の次元
空間基底の例次元
Rn\mathbb{R}^ne1,…,ene_1,\dots,e_nnn
PnP_n(次数 ≤n\leq n の多項式)1,x,…,xn1,x,\dots,x^nn+1n+1
Mm×nM_{m\times n}(行列)単一の 11 を持つ行列 EijE_{ij}mnmn
C[a,b]C[a,b](連続関数)有限基底は存在しない∞\infty

大学定理:すべての基底は同じ大きさを持つ

定理: シュタイニッツの交換補題

{v1,…,vm}\{v_1,\dots,v_m\} がベクトル空間 VV を張り、{w1,…,wk}⊆V\{w_1,\dots,w_k\}\subseteq V が一次独立であるならば、k≤mk\leq m である:独立な集合は張る集合より大きくなることは決してない。さらに、viv_i のうち kk 個を w1,…,wkw_1,\dots,w_k に置き換えても、結果として得られる集合は依然として VV を張る。

なぜ正しいのか?

独立なベクトルは張る集合より多くなることはできない。なぜなら、新しい独立なベクトルは常に、張るという性質を壊さずに、張るベクトルの一つと「交換」できるからである——この交換が妨げられるのは、張るベクトルがすべて使い尽くされたときだけであり、その時点で矛盾なく別の独立なベクトルを追加する余地はもはや残っていない。これがまさに k≤mk\leq m を確定させるものである。

証明

これまでに交換した ww の個数 kk に関する帰納法で議論する。k=0k=0 のとき不等式 0≤m0\leq m は自明であり、交換は不要である。帰納的に、w1,…,wk−1w_1,\dots,w_{k-1} が元の viv_i のうち k−1k-1 個と既に交換されており(これらを v1,…,vk−1v_1,\dots,v_{k-1} と番号を振り直す)、{w1,…,wk−1,vk,…,vm}\{w_1,\dots,w_{k-1},v_k,\dots,v_m\} が依然として VV を張ると仮定する。

k−1k-1 が既に mm に等しいならば、すべての viv_i が使い尽くされているので、{w1,…,wk−1}\{w_1,\dots,w_{k-1}\} 単独で VV を張る。しかしそのとき wk∈Vw_k\in V は w1,…,wk−1w_1,\dots,w_{k-1} の一次結合となり、{w1,…,wk}\{w_1,\dots,w_k\} の一次独立性に矛盾する。したがって、現在の kk について k≤mk\leq m を示そうとしているうちに、この場合は起こり得ない——正確には、これは直ちに k−1<mk-1<m、すなわち k≤mk\leq m を示している。

そうでなければ k−1<mk-1<m なので、(vk,…,vmv_k,\dots,v_m の中に)少なくとも 1 つの vjv_j が残っている。{w1,…,wk−1,vk,…,vm}\{w_1,\dots,w_{k-1},v_k,\dots,v_m\} が VV を張るので、wkw_k を組み合わせ wk=λ1w1+⋯+λk−1wk−1+μ1vj1+⋯+μm−k+1vjm−k+1w_k=\lambda_1w_1+\cdots+\lambda_{k-1}w_{k-1}+\mu_1v_{j_1}+\cdots+\mu_{m-k+1}v_{j_{m-k+1}} として書く。残っている vv に関する係数 μ1,…\mu_1,\dots がすべて 00 であれば、wkw_k は w1,…,wk−1w_1,\dots,w_{k-1} だけの組み合わせとなり、再び独立性に矛盾する——したがって残っているある vjv_j の係数はゼロでない。

その方程式を vjv_j について解き(そのゼロでない係数で割る)、vjv_j を w1,…,wkw_1,\dots,w_k と残りの他の vv の組み合わせとして表す。この表現を vjv_j が現れるすべての箇所に代入すると、{w1,…,wk}\{w_1,\dots,w_k\} と残りの vv(vjv_j を除く)を合わせたものが依然として VV を張ることが分かる——もう 1 つの vv が wkw_k にうまく交換され、帰納的段階が完了し、k≤mk\leq m が確認される。

定理: 次元定理

同じベクトル空間 VV の任意の 2 つの有限基底は同じ個数の元を持つ:B1B_1 が mm 個のベクトルを持ち、B2B_2 が kk 個のベクトルを持つならば、dim⁡(V)=m=k\dim(V)=m=k である。したがって dim⁡(V)\dim(V) は VV の正しく定義された不変量であり、どの基底を選んだかによる産物ではない。

なぜ正しいのか?

基底は同時に張る集合であり独立な集合でもあるので、交換補題を各方向に一度ずつ適用すると——一度は B1B_1 を張る集合、B2B_2 を独立な集合として扱い、もう一度はその逆にすると——2 つの大きさは互いに挟み込まれ、等しくなることが強制される。

証明

B1={v1,…,vm}B_1=\{v_1,\dots,v_m\} と B2={w1,…,wk}B_2=\{w_1,\dots,w_k\} をともに VV の基底とする。B1B_1 が VV を張り(基底だから)、B2B_2 が一次独立である(基底だから)ので、上で証明した交換補題を、B1B_1 を張る集合、B2B_2 を独立な集合として直接適用すると k≤mk\leq m が得られる。

対称的に、B2B_2 が VV を張り、B1B_1 が一次独立であるので、役割を入れ替えて交換補題を再び適用する——B2B_2 を張る集合、B1B_1 を独立な集合として——すると m≤km\leq k が得られる。

2 つの不等式 k≤mk\leq m と m≤km\leq k を組み合わせると k=mk=m が強制される:2 つの基底はちょうど同じ個数のベクトルを持つ。

この議論は、どの特定の有限基底 B1,B2B_1,B_2 が選ばれたかに何の制約も置いていないので、VV のすべての有限基底はこの同じ共通の大きさを持つ。これにより dim⁡(V)\dim(V) をその共通の大きさとして定義することが正当化される——それは空間 VV 自身の不変量であり、それを計算するのにどの基底を使ったかには決して依存しない。

大学実世界での応用と具体例

ベクトル空間は、デジタル信号圧縮(信号を「明らかな」基底よりも巧妙な基底で表現すること)の背後にある共通言語であり、また、物理学や工学における振動子、回路、構造物を記述する線形微分方程式の解の集合の背後にある共通言語でもある——どちらの場合も、ある対象の集合を特定の有限次元を持つベクトル空間として認識することが、そうでなければ無限に見える問題を、有限個の数で扱えるようにする鍵である。

例: コンピュータサイエンス:基底変換による信号圧縮

ある短いデジタル信号が、標準基底 {e1,e2}\{e_1,e_2\} でベクトル (3,1)∈R2(3,1)\in\mathbb{R}^2 として保存されている。ある圧縮方式では代わりに基底 {u1,u2}={(1,1),(1,−1)}\{u_1,u_2\}=\{(1,1),(1,-1)\} を用い、これはほとんどの信号を第 1 座標に集中させることが分かっている。(3,1)(3,1) を新しい基底 {u1,u2}\{u_1,u_2\} で表せ。

解答

まず {u1,u2}={(1,1),(1,−1)}\{u_1,u_2\}=\{(1,1),(1,-1)\} が本当に R2\mathbb{R}^2 の基底であるかを確認する:2=dim⁡(R2)2=\dim(\mathbb{R}^2) 個のベクトルを持ち、互いの倍数ではない(片方は座標が等しく、もう片方は座標が反対である)ので一次独立である——22 次元空間内の 2 つの独立なベクトルは自動的にそれを張る。

(3,1)=c1u1+c2u2=c1(1,1)+c2(1,−1)(3,1)=c_1u_1+c_2u_2=c_1(1,1)+c_2(1,-1) と未知のスカラー c1,c2c_1,c_2 で書く。これにより連立方程式 c1+c2=3c_1+c_2=3(第 1 座標)と c1−c2=1c_1-c_2=1(第 2 座標)が得られる。

2 つの方程式を加える:2c1=42c_1=4 なので c1=2c_1=2。第 1 式から第 2 式を引く:2c2=22c_2=2 なので c2=1c_2=1。

したがって (3,1)=2u1+1u2(3,1)=2u_1+1u_2 であり、つまり新しい基底 {u1,u2}\{u_1,u_2\} における信号の座標は (2,1)(2,1) である。圧縮方式は今、第 1 座標よりも小さい第 2 座標を、より積極的に捨てるか量子化できる。これこそが基底変換が圧縮に有用である理由である。

例: 物理学:振動子方程式の解空間

単振動を記述する微分方程式 y′′+y=0y''+y=0 の解集合はちょうど {c1cos⁡x+c2sin⁡x:c1,c2∈R}\{c_1\cos x+c_2\sin x : c_1,c_2\in\mathbb{R}\} であり、基底 {cos⁡x,sin⁡x}\{\cos x,\sin x\} を持つ 22 次元ベクトル空間である。初期条件 y(0)=2y(0)=2、y′(0)=3y'(0)=3 を満たす特定の解を求めよ。

解答

解集合は基底 {cos⁡x,sin⁡x}\{\cos x,\sin x\} を持つベクトル空間なので、すべての解はその基底における 2 つの座標 c1,c2c_1,c_2 によって一意に決まる——解を求めることは、上の圧縮の例とまったく同様に、この 2 つの数を求めることに帰着する。

一般解は y(x)=c1cos⁡x+c2sin⁡xy(x)=c_1\cos x+c_2\sin x である。x=0x=0 で評価する:y(0)=c1cos⁡0+c2sin⁡0=c1y(0)=c_1\cos 0+c_2\sin 0=c_1。初期条件 y(0)=2y(0)=2 から直ちに c1=2c_1=2 が得られる。

微分する:y′(x)=−c1sin⁡x+c2cos⁡xy'(x)=-c_1\sin x+c_2\cos x。x=0x=0 で評価する:y′(0)=−c1sin⁡0+c2cos⁡0=c2y'(0)=-c_1\sin 0+c_2\cos 0=c_2。初期条件 y′(0)=3y'(0)=3 から直ちに c2=3c_2=3 が得られる。

したがって特定の解は y(x)=2cos⁡x+3sin⁡xy(x)=2\cos x+3\sin x である——22 次元解空間の基底 {cos⁡x,sin⁡x}\{\cos x,\sin x\} におけるこの特定の解の座標 (c1,c2)=(2,3)(c_1,c_2)=(2,3) は、2 つの初期条件によって完全に確定され、空間の次元とちょうど一致している。

通常の演算のもとで、次のうちベクトル空間でないものはどれか。

次数 33 以下の多項式の空間 P3P_3 について、dim⁡(P3)\dim(P_3) はいくつか。

{v1,…,v5}\{v_1,\dots,v_5\} が VV を張り、{w1,w2,w3,w4,w5,w6}⊆V\{w_1,w_2,w_3,w_4,w_5,w_6\}\subseteq V であるとき、シュタイニッツの交換補題は何を教えてくれるか。

あるデジタル音声圧縮器は、各短い信号フレームを標準基底ではなく特別な基底で表現する。これがなぜ、そのフレームのベクトル空間が基底に依存しない、正しく定義された次元を持つことを必要とするのか。

参考文献

  1. Sheldon Axler (2015). Linear Algebra Done Right
  2. Eric W. Weisstein (MathWorld) (2024). Vector Space