Đại số

Không gian vectơ

Tập hợp các đối tượng có thể cộng và nhân với vô hướng, bối cảnh của toàn bộ đại số tuyến tính.

Trực giácTrực giác: cộng và nhân với vô hướng — đó là tất cả những gì cần

Các mũi tên trong mặt phẳng có thể được đặt đầu nối đuôi để cộng chúng lại, và được kéo dài hay co ngắn bởi một số. Đó đã là đủ cấu trúc để làm được một lượng đáng kể toán học — và điều bất ngờ là chính hai phép toán đó, cộng và nhân với vô hướng, cũng có nghĩa với đa thức (cộng hai đa thức, nhân một đa thức với một số), với các ma trận cùng cỡ, và với hàm số (cộng hai hàm theo từng điểm, nhân một hàm với một hằng số). Không gian vectơ là bất kỳ tập hợp nào được trang bị hai phép toán này tuân theo cùng một số quy tắc hợp lý mà các mũi tên trong mặt phẳng đã tuân theo; khi một tập hợp được nhận ra là một không gian vectơ, mọi định lý đã chứng minh một lần cho "vectơ nói chung" áp dụng ngay cho cả mũi tên, đa thức, ma trận, và hàm số.

Hai vectơ cột

\mathbf{v}_1 = (a_{11}, a_{21})

và

\mathbf{v}_2 = (a_{12}, a_{22})

tạo thành một cơ sở của

\mathbb{R}^2

khi chúng không cùng phương (

\det A \neq 0

), sinh ra toàn bộ lưới tọa độ trên hình.

Phổ thôngĐịnh nghĩa: các tiên đề không gian vectơ

Định nghĩa: Không gian vectơ

Một không gian vectơ trên $\mathbb{R}$ là một tập hợp $V$ cùng với một phép cộng $\mathbf{u}+\mathbf{v}\in V$ và một phép nhân với vô hướng $\alpha\mathbf{u}\in V$ (với $\alpha\in\mathbb{R}$ ) sao cho phép cộng có tính giao hoán và kết hợp, có một vectơ không $\mathbf{0}$ với $\mathbf{u}+\mathbf{0}=\mathbf{u}$ , mọi $\mathbf{u}$ có một phần tử đối $-\mathbf{u}$ , phép nhân với vô hướng tương thích với phép nhân số thực và có tính phân phối với cả phép cộng vectơ và phép cộng vô hướng, và $1\cdot\mathbf{u}=\mathbf{u}$ . Cụ thể, hai luật phân phối là $\alpha(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\alpha\mathbf{u}+\alpha\mathbf{v},\quad (\alpha+\beta)\mathbf{u}=\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{u}$ . Các ví dụ quen thuộc gồm $\mathbb{R}^n$ , không gian $P_n$ các đa thức bậc không quá $n$ , không gian $M_{m\times n}$ các ma trận, và không gian $C[a,b]$ các hàm liên tục trên một đoạn.

\alpha(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\alpha\mathbf{u}+\alpha\mathbf{v},\quad (\alpha+\beta)\mathbf{u}=\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{u}

Hai luật phân phối này nói rằng nhân một tổng các vectơ với một vô hướng cũng giống như nhân từng vectơ riêng rồi cộng kết quả lại, và cộng hai vô hướng trước khi nhân cũng giống như nhân riêng rồi cộng lại — hai quy tắc này chính là điều làm cho các tổ hợp "tuyến tính" của vectơ hoạt động tốt, và mọi định lý về không gian vectơ cuối cùng đều được xây dựng chỉ từ các tiên đề này.

Định nghĩa: Cơ sở và số chiều

Một tập vectơ $\{v_1,\dots,v_k\}$ được gọi là độc lập tuyến tính nếu không có tổ hợp không tầm thường nào $c_1v_1+\cdots+c_kv_k$ bằng $\mathbf{0}$ (tương đương, không vectơ nào trong tập là tổ hợp của các vectơ còn lại), và nó sinh ra $V$ nếu mọi vectơ của $V$ là một tổ hợp của chúng, nghĩa là $\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)=\Big\{\textstyle\sum_{i=1}^k c_iv_i : c_i\in\mathbb{R}\Big\}$ bằng toàn bộ $V$ . Một cơ sở của $V$ là một tập vừa độc lập tuyến tính vừa sinh ra $V$ ; số chiều $\dim(V)$ là số vectơ trong một cơ sở — được định nghĩa tốt chính vì, như định lý tiếp theo sẽ chỉ ra, mọi cơ sở của $V$ đều có cùng kích thước.

\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)=\Big\{\textstyle\sum_{i=1}^k c_iv_i : c_i\in\mathbb{R}\Big\}

Chẳng hạn, cơ sở chính tắc $e_1=(1,0,\dots,0),\dots,e_n=(0,\dots,0,1)$ của $\mathbb{R}^n$ có đúng $n$ vectơ, nên $\dim(\mathbb{R}^n)=n$ ; và $1,x,x^2,\dots,x^n$ là một cơ sở của $P_n$ với $n+1$ vectơ, nên $\dim(P_n)=n+1$ .

Số chiều của các không gian vectơ quen thuộc
Không gian	Một cơ sở	Số chiều
$\mathbb{R}^n$	$e_1,\dots,e_n$	$n$
$P_n$ (đa thức bậc $\leq n$ )	$1,x,\dots,x^n$	$n+1$
$M_{m\times n}$ (ma trận)	các ma trận $E_{ij}$ có một số $1$ duy nhất	$mn$
$C[a,b]$ (hàm liên tục)	không có cơ sở hữu hạn	$\infty$

Đại họcĐịnh lý: mọi cơ sở đều có cùng kích thước

Định lý: Bổ đề trao đổi Steinitz

Nếu $\{v_1,\dots,v_m\}$ sinh ra không gian vectơ $V$ và $\{w_1,\dots,w_k\}\subseteq V$ độc lập tuyến tính, thì $k\leq m$ : một tập độc lập không bao giờ có thể lớn hơn một tập sinh. Hơn nữa, $k$ trong số các $v_i$ có thể được thay bằng $w_1,\dots,w_k$ sao cho tập kết quả vẫn sinh ra $V$ .

Vì sao đúng?

Các vectơ độc lập không thể nhiều hơn một tập sinh, vì mỗi vectơ độc lập mới luôn có thể được "đổi lấy" một trong các vectơ sinh mà không phá vỡ tính chất sinh — sự đổi này chỉ bị chặn lại khi mọi vectơ sinh đã được dùng hết, và tại điểm đó không còn chỗ để thêm một vectơ độc lập khác mà không mâu thuẫn, đó chính là điều chốt lại $k\leq m$ .

Chứng minh

Chứng minh bằng quy nạp theo $k$ , số lượng $w$ đã được trao đổi vào cho tới nay. Với $k=0$ , bất đẳng thức $0\leq m$ là tầm thường, và không cần trao đổi nào. Giả sử theo quy nạp rằng $w_1,\dots,w_{k-1}$ đã được trao đổi vào thay cho $k-1$ trong số các $v_i$ ban đầu (đánh lại số để đó là $v_1,\dots,v_{k-1}$ ), sao cho $\{w_1,\dots,w_{k-1},v_k,\dots,v_m\}$ vẫn sinh ra $V$ .

Nếu $k-1$ đã bằng $m$ , mọi $v_i$ đã bị dùng hết, nên $\{w_1,\dots,w_{k-1}\}$ một mình sinh ra $V$ ; nhưng khi đó $w_k\in V$ sẽ là một tổ hợp tuyến tính của $w_1,\dots,w_{k-1}$ , mâu thuẫn với tính độc lập tuyến tính của $\{w_1,\dots,w_k\}$ . Vậy trường hợp này không thể xảy ra khi $k\leq m$ vẫn cần được chỉ ra cho $k$ hiện tại — chính xác hơn, nó cho thấy $k-1<m$ , tức $k\leq m$ , ngay lập tức.

Ngược lại $k-1<m$ , nên còn ít nhất một $v_j$ (trong số $v_k,\dots,v_m$ ). Vì $\{w_1,\dots,w_{k-1},v_k,\dots,v_m\}$ sinh ra $V$ , viết $w_k$ dưới dạng tổ hợp $w_k=\lambda_1w_1+\cdots+\lambda_{k-1}w_{k-1}+\mu_1v_{j_1}+\cdots+\mu_{m-k+1}v_{j_{m-k+1}}$ . Nếu mọi hệ số $\mu_1,\dots$ trên các $v$ còn lại đều bằng $0$ , thì $w_k$ sẽ là một tổ hợp chỉ của $w_1,\dots,w_{k-1}$ , lại mâu thuẫn với tính độc lập — nên một $v_j$ còn lại nào đó có hệ số khác không.

Giải phương trình đó để tìm $v_j$ (chia cho hệ số khác không của nó), biểu diễn $v_j$ như một tổ hợp của $w_1,\dots,w_k$ và các $v$ còn lại khác. Thay biểu diễn này cho $v_j$ ở mọi nơi nó xuất hiện cho thấy $\{w_1,\dots,w_k\}$ cùng với các $v$ còn lại (trừ $v_j$ ) vẫn sinh ra $V$ — một $v$ nữa đã được trao đổi thành công thành $w_k$ , hoàn tất bước quy nạp và xác nhận $k\leq m$ .

Định lý: Định lý về số chiều

Hai cơ sở hữu hạn bất kỳ của cùng một không gian vectơ $V$ có cùng số phần tử: nếu $B_1$ có $m$ vectơ và $B_2$ có $k$ vectơ, thì $\dim(V)=m=k$ . Do đó $\dim(V)$ là một bất biến được định nghĩa tốt của $V$ , không phải là kết quả ngẫu nhiên của việc chọn cơ sở nào.

Vì sao đúng?

Một cơ sở đồng thời là một tập sinh và một tập độc lập, nên áp dụng bổ đề trao đổi một lần theo mỗi hướng — một lần coi $B_1$ là tập sinh và $B_2$ là tập độc lập, một lần ngược lại — sẽ kẹp hai kích thước lại với nhau cho đến khi chúng buộc phải bằng nhau.

Chứng minh

Cho $B_1=\{v_1,\dots,v_m\}$ và $B_2=\{w_1,\dots,w_k\}$ đều là cơ sở của $V$ . Vì $B_1$ sinh ra $V$ (nó là một cơ sở) và $B_2$ độc lập tuyến tính (nó là một cơ sở), bổ đề trao đổi đã chứng minh trên áp dụng trực tiếp với $B_1$ đóng vai trò tập sinh và $B_2$ là tập độc lập, cho $k\leq m$ .

Đối xứng lại, vì $B_2$ sinh ra $V$ và $B_1$ độc lập tuyến tính, áp dụng bổ đề trao đổi lần nữa với vai trò đổi chỗ — $B_2$ là tập sinh, $B_1$ là tập độc lập — cho $m\leq k$ .

Kết hợp hai bất đẳng thức $k\leq m$ và $m\leq k$ buộc $k=m$ : hai cơ sở có đúng cùng số vectơ.

Vì lập luận này không đặt ra hạn chế nào về việc cơ sở hữu hạn cụ thể nào $B_1,B_2$ được chọn, mọi cơ sở hữu hạn của $V$ đều có cùng kích thước chung này. Điều này biện minh cho việc định nghĩa $\dim(V)$ là kích thước chung đó — nó là một bất biến của chính không gian $V$ , không bao giờ phụ thuộc vào cơ sở nào được dùng để tính nó.

Đại họcỨng dụng thực tiễn và Ví dụ minh họa

Không gian vectơ là ngôn ngữ chung đằng sau việc nén tín hiệu số (biểu diễn một tín hiệu bằng một cơ sở khéo léo hơn cơ sở "hiển nhiên"), và đằng sau tập nghiệm của các phương trình vi phân tuyến tính mô tả dao động, mạch điện, và kết cấu trong vật lý và kỹ thuật — trong cả hai trường hợp, việc nhận ra một tập hợp đối tượng là không gian vectơ với số chiều hữu hạn cụ thể là điều làm cho một bài toán trông có vẻ vô hạn trở nên xử lý được chỉ với hữu hạn con số.

Ví dụ: Khoa học máy tính: đổi cơ sở để nén tín hiệu

Một tín hiệu số ngắn được lưu dưới dạng vectơ $(3,1)\in\mathbb{R}^2$ theo cơ sở chính tắc $\{e_1,e_2\}$ . Một phương án nén thay vào đó dùng cơ sở $\{u_1,u_2\}=\{(1,1),(1,-1)\}$ , hóa ra tập trung hầu hết tín hiệu vào tọa độ đầu tiên. Hãy biểu diễn $(3,1)$ theo cơ sở mới $\{u_1,u_2\}$ .

Lời giải

Trước hết kiểm tra $\{u_1,u_2\}=\{(1,1),(1,-1)\}$ có thực sự là một cơ sở của $\mathbb{R}^2$ không: nó có $2=\dim(\mathbb{R}^2)$ vectơ, và chúng không phải là bội của nhau (một có hai tọa độ bằng nhau, một có hai tọa độ đối nhau), nên chúng độc lập tuyến tính — hai vectơ độc lập trong một không gian $2$ chiều tự động cũng sinh ra nó.

Viết $(3,1)=c_1u_1+c_2u_2=c_1(1,1)+c_2(1,-1)$ với các vô hướng chưa biết $c_1,c_2$ . Điều này cho hệ tuyến tính $c_1+c_2=3$ (tọa độ đầu) và $c_1-c_2=1$ (tọa độ thứ hai).

Cộng hai phương trình: $2c_1=4$ , nên $c_1=2$ . Lấy phương trình đầu trừ phương trình thứ hai: $2c_2=2$ , nên $c_2=1$ .

Vậy $(3,1)=2u_1+1u_2$ , nghĩa là tọa độ của tín hiệu theo cơ sở mới $\{u_1,u_2\}$ là $(2,1)$ ; phương án nén giờ có thể bỏ hoặc lượng tử hóa tọa độ thứ hai nhỏ hơn một cách mạnh tay hơn tọa độ đầu, đó chính là lý do vì sao đổi cơ sở lại hữu ích cho việc nén.

Ví dụ: Vật lý: không gian nghiệm của phương trình dao động

Phương trình vi phân $y''+y=0$ mô tả một dao động điều hòa đơn giản có tập nghiệm chính xác là $\{c_1\cos x+c_2\sin x : c_1,c_2\in\mathbb{R}\}$ , một không gian vectơ $2$ chiều với cơ sở $\{\cos x,\sin x\}$ . Hãy tìm nghiệm cụ thể thỏa mãn điều kiện đầu $y(0)=2$ và $y'(0)=3$ .

Lời giải

Vì tập nghiệm là một không gian vectơ với cơ sở $\{\cos x,\sin x\}$ , mọi nghiệm được xác định duy nhất bởi hai tọa độ $c_1,c_2$ của nó theo cơ sở đó — việc tìm nghiệm quy về việc tìm hai số này, hoàn toàn giống ví dụ nén tín hiệu ở trên.

Nghiệm tổng quát là $y(x)=c_1\cos x+c_2\sin x$ . Tính tại $x=0$ : $y(0)=c_1\cos 0+c_2\sin 0=c_1$ . Điều kiện đầu $y(0)=2$ cho ngay $c_1=2$ .

Lấy đạo hàm: $y'(x)=-c_1\sin x+c_2\cos x$ . Tính tại $x=0$ : $y'(0)=-c_1\sin 0+c_2\cos 0=c_2$ . Điều kiện đầu $y'(0)=3$ cho ngay $c_2=3$ .

Vậy nghiệm cụ thể là $y(x)=2\cos x+3\sin x$ — các tọa độ $(c_1,c_2)=(2,3)$ của nghiệm riêng này theo cơ sở $\{\cos x,\sin x\}$ của không gian nghiệm $2$ chiều được xác định hoàn toàn bởi hai điều kiện đầu, khớp đúng với số chiều của không gian.

Lỗi hay gặp. Các lỗi thường gặp: (1) nghĩ rằng "vectơ" phải là một mũi tên có độ dài và hướng — trong lý thuyết trừu tượng, một đa thức, một ma trận, hay một hàm số đều là một vectơ hợp lệ không kém gì một mũi tên, miễn là các tiên đề cộng và nhân với vô hướng được thỏa mãn. (2) Nhầm lẫn "sinh ra" với "cơ sở": một tập sinh có thể có thêm các vectơ dư thừa (chẳng hạn

\{(1,0),(0,1),(1,1)\}

sinh ra

\mathbb{R}^2

nhưng không độc lập, do đó không phải một cơ sở) — chỉ có một tập sinh mà cũng độc lập mới là một cơ sở. (3) Nghĩ rằng số chiều có thể phụ thuộc vào cơ sở nào tình cờ được chọn — định lý về số chiều chứng minh chính điều ngược lại: mọi cơ sở của cùng một không gian đều cho cùng một số lượng.

Ghi chú lịch sử

Ý tưởng xem các mũi tên, cùng quy tắc cộng và co giãn của chúng, một cách trừu tượng đã có từ Hermann Grassmann vào những năm 1840 và được Giuseppe Peano cho một dạng tiên đề hiện đại gọn gàng vào năm 1888. Khung lý thuyết này được đẩy đi xa hơn nhiều bởi John von Neumann, người trong cuốn sách năm 1932 về cơ sở toán học của cơ học lượng tử đã đưa ra một cách xử lý tiên đề chặt chẽ cho không gian Hilbert — một không gian vectơ vô hạn chiều với cấu trúc bổ sung — cho thấy chính các tiên đề cộng và co giãn ấy, giờ đã quen thuộc từ các không gian hữu hạn chiều như $\mathbb{R}^n$ , có thể chống đỡ toàn bộ bộ máy toán học của lý thuyết lượng tử.

John von Neumann

Tập nào dưới đây KHÔNG phải là không gian vectơ với các phép toán thông thường?

$\dim(P_3)$ bằng bao nhiêu, với $P_3$ là không gian đa thức bậc không quá $3$ ?

$\{v_1,\dots,v_5\}$ sinh ra $V$ và $\{w_1,w_2,w_3,w_4,w_5,w_6\}\subseteq V$ . Bổ đề trao đổi Steinitz cho ta biết điều gì?

Một bộ nén âm thanh số biểu diễn mỗi khung tín hiệu ngắn theo một cơ sở đặc biệt thay vì cơ sở chính tắc. Vì sao điều này cần không gian vectơ của khung tín hiệu có một số chiều được định nghĩa tốt, không phụ thuộc cơ sở?

Tài liệu tham khảo

Sheldon Axler (2015). Linear Algebra Done Right
Eric W. Weisstein (MathWorld) (2024). Vector Space