Công thức tổng Poisson

Bước 1 (tuần hoàn hóa). Với hàm Schwartz $f$, đặt $F(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(x+n)$. Do $f$ giảm nhanh nên tổng này hội tụ tuyệt đối và đều, và $F$ là hàm trơn có chu kỳ 1, nên nó có chuỗi Fourier riêng trên đường tròn.

Bước 2 (tính các hệ số Fourier của hàm tuần hoàn hóa). Hệ số Fourier thứ $k$ của $F$ là $c_k = \int_0^1 F(x) e^{-2\pi i k x}\,dx = \sum_{n} \int_0^1 f(x+n) e^{-2\pi i k x}\,dx$. Đổi biến $y = x+n$ trong mỗi số hạng và dùng tính tuần hoàn của $e^{-2\pi i k x}$ theo $n$ sẽ ghép các mảnh lại thành một tích phân duy nhất trên toàn $\mathbb{R}$: $c_k = \int_{-\infty}^{\infty} f(y) e^{-2\pi i k y}\,dy = \hat f(k)$.

Bước 3 (tính tại x=0). Vì $F$ trơn nên chuỗi Fourier của nó hội tụ điểm về chính nó, đặc biệt tại $x=0$: $F(0) = \sum_k c_k e^{0}$, tức là $\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \hat f(k)$. Vế trái đúng bằng $F(0) = \sum_n f(n)$ theo định nghĩa, hoàn tất chứng minh.