Định luật bán nguyệt Wigner

Bước 1 (mục tiêu). Các mô-men của mật độ bán nguyệt $\rho(x) = \frac{1}{\pi}\sqrt{2-x^2}$ trên $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ là các số Catalan: mô-men bậc $2k$ bằng $C_k = \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}$, và mọi mô-men bậc lẻ triệt tiêu do đối xứng. Vậy chỉ cần chỉ ra các mô-men của phân phối trị riêng thực nghiệm đã co tỉ lệ hội tụ về đúng các số này.

Bước 2 (khai triển vết). Viết $\operatorname{Tr}(H^{2k}) = \sum_{i_1,\dots,i_{2k}} H_{i_1 i_2} H_{i_2 i_3} \cdots H_{i_{2k} i_1}$, tổng trên các đường đi đóng độ dài $2k$ trên $\{1,\dots,N\}$. Lấy kỳ vọng và dùng tính độc lập của các phần tử, $\mathbb{E}[\operatorname{Tr}(H^{2k})]$ tách thành tổng, trên các cách ghép cặp $2k$ thừa số, của tích các mô-men bậc hai $\mathbb{E}[H_{ij}H_{kl}]$ của từng cặp (mô-men đồng thời bậc lẻ triệt tiêu vì trung bình bằng không, và thừa số không ghép cặp cũng triệt tiêu vì $\mathbb{E}[H_{ij}]=0$).

Bước 3 (chỉ cách ghép không cắt nhau sống sót ở bậc trội). Mỗi cách ghép cặp tương ứng một cách đồng nhất các cạnh của đường đi đóng; một cách ghép đóng góp một luỹ thừa của $N$ tuỳ theo số đỉnh phân biệt được thăm. Đếm cho thấy một cách ghép đóng góp ở bậc $N^{k+1}$ chỉ khi các cạnh được đồng nhất tạo thành một cách ghép không cắt nhau (phẳng) của $2k$ đầu mút; các cách ghép có cắt nhau đóng góp ở bậc thấp hơn hẳn theo $N$ và triệt tiêu sau khi chia cho $N^{k+1}$ để chuẩn hoá.

Bước 4 (đếm và kết luận). Số cách ghép không cắt nhau của $2k$ điểm trên một đường tròn đúng bằng số Catalan $C_k = \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}$. Do đó $\frac{1}{N}\mathbb{E}[\operatorname{Tr}((H/\sqrt{N})^{2k})] \to C_k$ khi $N \to \infty$, khớp từng số hạng với các mô-men của $\rho(x) = \frac{1}{\pi}\sqrt{2-x^2}$; vì phân phối bán nguyệt được xác định hoàn toàn bởi các mô-men của nó, phân phối phổ thực nghiệm hội tụ về nó.