Ma trận ngẫu nhiên

Vết của một luỹ thừa cao của H là tổng trên các đường đi đóng trên tập chỉ số; vì các phần tử độc lập và có trung bình 0, chỉ những đường đi qua mỗi cạnh một số chẵn lần mới sống sót sau khi lấy kỳ vọng, và đếm các đường đi trội còn lại quy về một bài toán tổ hợp thuần tuý mà đáp số là các số Catalan — đúng bằng các mô-men của phân phối bán nguyệt.

Bước 1 (mục tiêu). Các mô-men của mật độ bán nguyệt $\rho(x) = \frac{1}{\pi}\sqrt{2-x^2}$ trên $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ là các số Catalan: mô-men bậc $2k$ bằng $C_k = \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}$, và mọi mô-men bậc lẻ triệt tiêu do đối xứng. Vậy chỉ cần chỉ ra các mô-men của phân phối trị riêng thực nghiệm đã co tỉ lệ hội tụ về đúng các số này.

Bước 2 (khai triển vết). Viết $\operatorname{Tr}(H^{2k}) = \sum_{i_1,\dots,i_{2k}} H_{i_1 i_2} H_{i_2 i_3} \cdots H_{i_{2k} i_1}$, tổng trên các đường đi đóng độ dài $2k$ trên $\{1,\dots,N\}$. Lấy kỳ vọng và dùng tính độc lập của các phần tử, $\mathbb{E}[\operatorname{Tr}(H^{2k})]$ tách thành tổng, trên các cách ghép cặp $2k$ thừa số, của tích các mô-men bậc hai $\mathbb{E}[H_{ij}H_{kl}]$ của từng cặp (mô-men đồng thời bậc lẻ triệt tiêu vì trung bình bằng không, và thừa số không ghép cặp cũng triệt tiêu vì $\mathbb{E}[H_{ij}]=0$).

Bước 3 (chỉ cách ghép không cắt nhau sống sót ở bậc trội). Mỗi cách ghép cặp tương ứng một cách đồng nhất các cạnh của đường đi đóng; một cách ghép đóng góp một luỹ thừa của $N$ tuỳ theo số đỉnh phân biệt được thăm. Đếm cho thấy một cách ghép đóng góp ở bậc $N^{k+1}$ chỉ khi các cạnh được đồng nhất tạo thành một cách ghép không cắt nhau (phẳng) của $2k$ đầu mút; các cách ghép có cắt nhau đóng góp ở bậc thấp hơn hẳn theo $N$ và triệt tiêu sau khi chia cho $N^{k+1}$ để chuẩn hoá.

Bước 4 (đếm và kết luận). Số cách ghép không cắt nhau của $2k$ điểm trên một đường tròn đúng bằng số Catalan $C_k = \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}$. Do đó $\frac{1}{N}\mathbb{E}[\operatorname{Tr}((H/\sqrt{N})^{2k})] \to C_k$ khi $N \to \infty$, khớp từng số hạng với các mô-men của $\rho(x) = \frac{1}{\pi}\sqrt{2-x^2}$; vì phân phối bán nguyệt được xác định hoàn toàn bởi các mô-men của nó, phân phối phổ thực nghiệm hội tụ về nó.

Ma trận 2x2 là hệ nhỏ nhất có khoảng cách giữa hai trị riêng, và đủ nhỏ để tính chính xác mật độ đồng thời của các phần tử bằng tay — nhưng nó đã chứa cơ chế cốt lõi (khoảng cách phụ thuộc vào một phần tử ngoài đường chéo phải triệt tiêu để trị riêng suy biến, và việc triệt tiêu là một điều kiện phụ đơn lẻ, chính là điều tạo ra sự đẩy thay vì tụ lại).

Bước 1 (thiết lập). Cho $H = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ là ma trận GOE $2\times2$ với $a,c$ độc lập chuẩn tắc và $b$ độc lập chuẩn với phương sai $\frac12$. Đa thức đặc trưng của nó cho trị riêng $\lambda_{\pm} = \frac{a+c}{2} \pm \frac{s}{2}$ với khoảng cách $s = \sqrt{(a-c)^2 + 4b^2}$.

Bước 2 (đổi biến). Đặt $u = \frac{a-c}{\sqrt{2}}, \; v = b\sqrt{2}$; kiểm tra trực tiếp phương sai cho thấy $u$ và $v$ là các biến chuẩn tắc độc lập, và $s = \sqrt{u^2+v^2}$ đúng chính xác, vì $(a-c)^2+4b^2 = 2u^2+2v^2$ rút gọn thành $2(u^2+v^2)$ sau phép thế — nên $s = \sqrt{2}\cdot\sqrt{(u^2+v^2)/2}$, tức là $s$ bằng $\sqrt{2}$ lần bán kính của một vectơ Gauss chuẩn 2 chiều.

Bước 3 (toạ độ cực). Bán kính $r=\sqrt{u^2+v^2}$ của một vectơ Gauss chuẩn 2 chiều có phân phối Rayleigh với mật độ $r\,e^{-r^2/2}$ (từ việc lấy tích phân mật độ Gauss đồng thời $\frac{1}{2\pi}e^{-(u^2+v^2)/2}$ theo góc, đóng góp thừa số $2\pi$, và định thức Jacobi $r$ từ $du\,dv = r\,dr\,d\theta$). Thế $r = s/\sqrt2$ và dùng $dr = ds/\sqrt2$ biến đổi thành mật độ $c\cdot s\, e^{-s^2/4}$ theo $s$ với hằng số $c$ nào đó.

Bước 4 (chuẩn hoá). Chọn $c$ sao cho khoảng cách trung bình $\int_0^\infty s\cdot p(s)\,ds = 1$ (quy ước dùng xuyên suốt lý thuyết) xác định $c = \pi/2$, cho đúng $p(s) = \frac{\pi s}{2} e^{-\pi s^2/4}$ — khớp với công thức đã nêu.