Suy luận Wigner cho khoảng cách mức

Bước 1 (thiết lập). Cho $H = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ là ma trận GOE $2\times2$ với $a,c$ độc lập chuẩn tắc và $b$ độc lập chuẩn với phương sai $\frac12$. Đa thức đặc trưng của nó cho trị riêng $\lambda_{\pm} = \frac{a+c}{2} \pm \frac{s}{2}$ với khoảng cách $s = \sqrt{(a-c)^2 + 4b^2}$.

Bước 2 (đổi biến). Đặt $u = \frac{a-c}{\sqrt{2}}, \; v = b\sqrt{2}$; kiểm tra trực tiếp phương sai cho thấy $u$ và $v$ là các biến chuẩn tắc độc lập, và $s = \sqrt{u^2+v^2}$ đúng chính xác, vì $(a-c)^2+4b^2 = 2u^2+2v^2$ rút gọn thành $2(u^2+v^2)$ sau phép thế — nên $s = \sqrt{2}\cdot\sqrt{(u^2+v^2)/2}$, tức là $s$ bằng $\sqrt{2}$ lần bán kính của một vectơ Gauss chuẩn 2 chiều.

Bước 3 (toạ độ cực). Bán kính $r=\sqrt{u^2+v^2}$ của một vectơ Gauss chuẩn 2 chiều có phân phối Rayleigh với mật độ $r\,e^{-r^2/2}$ (từ việc lấy tích phân mật độ Gauss đồng thời $\frac{1}{2\pi}e^{-(u^2+v^2)/2}$ theo góc, đóng góp thừa số $2\pi$, và định thức Jacobi $r$ từ $du\,dv = r\,dr\,d\theta$). Thế $r = s/\sqrt2$ và dùng $dr = ds/\sqrt2$ biến đổi thành mật độ $c\cdot s\, e^{-s^2/4}$ theo $s$ với hằng số $c$ nào đó.

Bước 4 (chuẩn hoá). Chọn $c$ sao cho khoảng cách trung bình $\int_0^\infty s\cdot p(s)\,ds = 1$ (quy ước dùng xuyên suốt lý thuyết) xác định $c = \pi/2$, cho đúng $p(s) = \frac{\pi s}{2} e^{-\pi s^2/4}$ — khớp với công thức đã nêu.