Công thức đổi cơ số logarit

Đặt $y=\log_b x$. Theo định nghĩa logarit, điều này nghĩa là $b^y=x$.

Theo định nghĩa logarit một lần nữa (lần này áp dụng cho cơ số $c$), chính $b$ có thể viết thành $b=c^{\log_c b}$. Thay vào $b^y=x$: $$(c^{\log_c b})^y = x \;\Longrightarrow\; c^{y\log_c b} = x,$$ dùng quy tắc lũy thừa của lũy thừa $(c^m)^y=c^{my}$.

Lấy $\log_c$ hai vế. Theo định nghĩa, $c^{y\log_c b}=x$ nghĩa chính xác là $\log_c x = y\log_c b$ (chính sự thật về đơn ánh $a^u=a^v \Rightarrow u=v$ dùng trong chứng minh quy tắc tích đảm bảo bước này hợp lệ, không chỉ "hợp lý").

Vì $c\ne 1$ nên $\log_c b \ne 0$ (vì $c^0=1\ne b$), nên ta có thể chia cả hai vế cho $\log_c b$: $$y = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}.$$ Nhớ lại $y=\log_b x$ cho chính xác $\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$.