Hàm số mũ và logarit

Logarit chỉ là một số mũ được ngụy trang, và các số mũ cộng lại khi bạn nhân các lũy thừa tương ứng — nên phép nhân bên trong logarit phải biến thành phép cộng bên ngoài nó.

Đặt $u=\log_a x$ và $v=\log_a y$. Theo định nghĩa logarit (là hàm ngược của hàm mũ), điều này có nghĩa chính xác là $a^u=x$ và $a^v=y$.

Nhân hai phương trình này: $xy = a^u \cdot a^v$. Theo quy tắc số mũ $a^{u+v}=a^u\cdot a^v$, vế phải bằng $a^{u+v}$, nên $xy=a^{u+v}$.

Theo định nghĩa logarit một lần nữa, $xy=a^{u+v}$ nghĩa chính xác là $\log_a(xy)=u+v$ — nhưng điều này dùng việc một số mũ tạo ra một đầu ra cho trước là duy nhất, tức $a^u=a^v \Rightarrow u=v$ khi $a>0,a\ne 1$ (hàm số mũ không bao giờ cho cùng một đầu ra với hai số mũ khác nhau, vì nó tăng ngặt khi $a>1$ hoặc giảm ngặt khi $0<a<1$).

Thay lại $u=\log_a x$ và $v=\log_a y$ cho $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$, chính là $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$.

Máy tính và máy tính điện tử chỉ cài đặt logarit ở một hoặc hai cơ số cố định; công thức này cho phép tính bất kỳ cơ số nào từ những cơ số đó, bằng cách biểu diễn "cần nhân với $b$ bao nhiêu lần" theo "cần nhân với $c$ bao nhiêu lần".

Đặt $y=\log_b x$. Theo định nghĩa logarit, điều này nghĩa là $b^y=x$.

Theo định nghĩa logarit một lần nữa (lần này áp dụng cho cơ số $c$), chính $b$ có thể viết thành $b=c^{\log_c b}$. Thay vào $b^y=x$: $$(c^{\log_c b})^y = x \;\Longrightarrow\; c^{y\log_c b} = x,$$ dùng quy tắc lũy thừa của lũy thừa $(c^m)^y=c^{my}$.

Lấy $\log_c$ hai vế. Theo định nghĩa, $c^{y\log_c b}=x$ nghĩa chính xác là $\log_c x = y\log_c b$ (chính sự thật về đơn ánh $a^u=a^v \Rightarrow u=v$ dùng trong chứng minh quy tắc tích đảm bảo bước này hợp lệ, không chỉ "hợp lý").

Vì $c\ne 1$ nên $\log_c b \ne 0$ (vì $c^0=1\ne b$), nên ta có thể chia cả hai vế cho $\log_c b$: $$y = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}.$$ Nhớ lại $y=\log_b x$ cho chính xác $\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$.